프린키피아(전문)

물체의 양(quantity, 질량)은 밀도와 부피로부터 계산된 값이다. 즉 양은 밀도에 부피를 곱한 값으로 정의된다.⁽¹⁾

물체의 밀도와 부피를 각각 2배로 키우면 양은 4배로 커지고, 밀도를 2배, 부피를 3배로 키우면 양은 6배로 커진다. 눈송이나 분말을 압축하거나 녹여서 액체로 만든 경우도 마찬가지다. 이 정의는 어떤 물체를 어떻게 압축하건 항상 동일하게 적용된다. 물체에 난 틈새로 밀도가 다른 이물질이 스며들면 상황이 조금 복잡해지는데, 이런 경우는 당분간 고려하지 않을 것이다. 앞으로 “본체(body)”나 “질량(mass)”이라는 단어가 나오면 위에서 정의한 “양”이라는 뜻으로 이해해주기 바란다.⁽²⁾ 또한 물체의 질량은 무게(weight)로부터 알아낼 수 있다. 나는 매우 정교한 진자 실험을 통해 무게가 질량에 비례한다는 사실을 확인했는데, 자세한 내용은 나중에 설명할 것이다.

운동의 양(운동량)은 움직이는 물체의 속도와 질량으로부터 계산된다. 즉 운동의 양은 질량에 속도를 곱한 값이다.⁽³⁾

물체의 총운동량은 각 부분의 운동량을 더한 값과 같다. 그러므로 속도가 같으면서 질량이 2배인 물체는 운동량이 2배로 크고, 질량과 속도가 모두 2배면 운동량은 4배로 커진다.

모든 물체는 힘을 발휘할 수 있는 고유의 능력을 갖고 있다. 질량을 가진 물체는 정지 상태나 일정한 속도로 움직이는 상태(등속 운동 상태)를 유지하기 위해, 이 힘을 발휘하면서 상태 변화에 저항한다.

이 힘은 물체의 질량에 비례하며 “관성(inertia)”과 같은 개념이다. 한 장소에 정지해 있거나 특정 속도로 움직이는 물체가 현재의 운동 상태를 바꾸기 어려운 것은 바로 관성 때문이다. 즉 관성이란 현재의 상태를 유지하는 힘이다. 그러므로 위에 언급된 힘은 “관성력(force of inertia)”이라 불러도 무방하다. 관성력은 외부에서 물체에 힘이 작용한 경우에만 발휘되며, 보는 관점에 따라 저항력으로 해석할 수도 있고, 반동력으로 해석할 수도 있다. 물체가 자신의 현재 상태를 유지하기 위해 외부의 힘에 저항한다는 점에서 보면 저항력이고, 현재 상태를 바꾸려는 외부의 방해물에 순응하지 않고 오히려 그 방해물의 운동 상태를 변화시키려 한다는 점에서 보면 반동력이다. 일반적으로 저항력이란 정지 상태에 있는 물체와 움직이는 물체 사이에 작용하는 힘이다. 그러나 “정지 상태”와 “움직이는 상태”는 다분히 상대적인 개념이어서, 관점에 따라 얼마든지 달라질 수 있다. 즉 특정 관측자가 볼 때 정지해 있는 물체도 다른 관측자에게는 움직이는 것처럼 보일 수 있다.

외부에서 가해진 힘(외력, 外力)은 정지해 있거나 등속 운동을 하는 물체의 운동 상태에 변화를 초래한다.

외력은 물체에 작용하는 동안에만 영향력을 행사하며, 일단 작용이 끝나면 더는 물체의 운동에 영향을 주지 않는다. 물체가 외력에 의해 새로운 상태로 접어든 후 그 상태를 계속 유지하는 것은 선천적으로 보유한 관성력 덕분이다. 물체를 때리거나 누를 때 발생하는 힘(타력 또는 압력)과 구심력은 외력에 속한다.

구심력이란 특정 중심을 향해 물체를 끌어당기거나 중심 쪽으로 밀어붙이는 등 물체가 어느 위치에 있건 중심을 향해 작용하는 힘이다.

지구가 자신의 중심 쪽으로 물체를 잡아당기는 중력과 자석이 쇠붙이를 끌어당기는 힘, 그리고 태양이 행성을 계속 잡아당겨서 직선 궤적을 벗어나 곡선 궤적을 따라가도록 만드는 힘은 모두 구심력에 속한다.

줄에 돌멩이를 매달아서 한쪽 끝을 손으로 잡고 돌리면 느슨했던 줄이 팽팽해진다. 줄의 장력(張力, 잡아당기는 힘)이 구심력으로 작용하여 돌멩이가 곡선 궤적(원 궤적)을 그리는 것이다. 빠르게 돌릴수록 줄에 가해지는 장력은 더욱 강해지고, 줄을 잡고 있던 손을 놓으면 돌멩이는 그 즉시 원 궤도를 이탈하여 멀리 날아간다. 돌멩이가 원 궤도를 유지할 수 있는 것은 줄의 장력이 돌멩이에 끊임없이 힘을 가하고 있기 때문이며, 이 힘을 구심력이라 부르는 이유는 돌멩이의 위치에 상관없이 항상 중심을 향해 작용하기 때문이다. 이 논리는 궤도의 모양에 상관없이 하나의 궤도를 따라 반복해서 움직이는 모든 물체에 똑같이 적용된다. 궤도 운동을 하는 물체는 중심으로부터 멀어지려는 경향이 있어서, 이것을 상쇄시키는 힘(구심력)이 없으면 물체는 더 이상 궤도를 유지하지 못하고 균일한 속도로 직선 운동을 하게 된다. 중력이 작용하지 않는다면 지구에서 위로 던진 물체는 다시 아래로 떨어지지 않고 직선 궤적을 그리며 우주 공간으로 날아갈 것이다. 그리고 지구에 대기마저 없다면 운동을 방해하는 저항력도 작용하지 않을 것이므로 물체는 처음 던진 속도를 그대로 유지하면서 등속 직선 운동을 하게 된다. 그러나 지구에는 중력이 작용하기 때문에 허공으로 던진 물체는 궤적이 계속 휘어지면서 지구로 되돌아온다. 이때 휘어지는 정도는 중력의 세기와 물체의 속도에 따라 다르다. 중력이 약할수록, 그리고 물체의 속도가 빠를수록 궤적이 직선에 가까워지면서 더 멀리 날아간다. 산꼭대기에서 납으로 된 대포알을 수평으로 발사하여 2마일을 날아간 후 땅에 떨어졌다고 하자. 공기 저항이 없을 때 똑같은 대포알을 2배의 속도로 발사하면 수평 도달 거리는 2배로 길어지고, 10배의 속도로 발사하면 도달 거리는 10배로 길어진다. 즉 발사 속도가 빠를수록 대포알은 멀리 날아가고, 대포알이 그리는 궤적의 곡률(curvature)은 점점 작아진다.⁽⁴⁾ 이때 대포알은 지구의 중심각을 기준으로 10도, 30도, 90도로 날아갈 수 있으며, 지구를 360도 돌아서 발사 지점에 떨어질 수도 있다. 발사 속도가 충분히 빠르면 아예 우주 공간으로 날아가 영원히 움직일 수도 있다. 지구에서 던진 물체가 중력에 의해 궤적이 휘어지면서 지구를 한 바퀴 돌 수 있는 것처럼, 달이 지구 주변을 도는 현상도 (지구와 달 사이에 중력, 또는 이와 유사한 인력이 작용한다면) 위와 동일한 논리로 설명 가능하다. 어떤 형태로든 구심력이 작용하면 달은 직선 운동을 하지 않고 궤적이 지구 쪽으로 끊임없이 휘어지면서 지구 주변을 선회할 수 있다. 만일 이런 힘이 작용하지 않는다면 달은 궤도를 벗어나 멀리 날아가버릴 것이다. 달에 작용하는 구심력(지구와 달의 중력)이 충분히 크지 않으면 직선 궤도에서 조금밖에 벗어나지 않기 때문에 지구 주변을 공전할 수 없고, 구심력이 지나치게 강하면 궤적이 너무 크게 휘어져서 나선을 그리며 지구로 추락할 것이다. 그러므로 이 힘은 아주 적절한 강도로 작용해야 한다. 약간의 수학 계산을 수행하면 임의의 물체가 특정 궤도를 따라 특정 속도로 움직이도록 만들기 위해 어느 정도의 힘이 필요한지, 또는 특정 속도로 움직이는 물체에 특정한 힘을 가했을 때 어떤 궤적을 그리는지 알아낼 수 있다.

구심력의 세기는 그 기원에 따라 절대 강도(absolute quantity)와 가속 강도(accelerative quantity), 그리고 운동 강도(motive quantity)로 구분된다.

구심력의 절대 강도는 중심부에서 주변으로 전달되는 구심력의 강도로서, 구심력을 창출하는 원인의 특성에 따라 달라질 수 있다.

예를 들어 자석의 자력(磁力)이 구심력으로 작용하는 경우, 구심력의 강도는 자석의 크기나 자화(磁化)된 정도 등 자기적 특성에 따라 달라진다.

구심력의 가속 강도는 특정 시간 동안 구심력 때문에 생긴 속도(즉 가속도)에 비례한다.

예를 들어 자석이 발휘하는 힘은 거리가 가까울수록 강하고 멀수록 약하다. 중력도 계곡에서는 강하고 산꼭대기로 올라가면 약해진다(지구 중심으로부터 거리가 멀기 때문이다. 이 부분은 나중에 따로 증명할 것이다). 그러나 거리가 같으면 지구에 의한 구심력의 가속 강도는 모든 지점에서 동일하다. 대기 저항을 무시했을 때 지구로 떨어지는 모든 물체는 크기와 무게에 상관없이 동일한 가속도로 떨어지기 때문이다.

구심력의 운동 강도는 특정 시간 동안 진행된 물체의 운동에 비례한다.

작은 물체는 가볍고 큰 물체는 무겁다. 동일한 물체도 지표면 근처에서는 무겁고 높은 곳으로 올라가면 가벼워진다. 이 “무겁고 가벼운 정도”가 바로 지구의 중심으로 향하는 구심력의 운동 강도이며, 물체의 무게이기도 하다. 구심력의 운동 강도는 물체의 추락을 막고 싶을 때 반대 방향으로 가해야 할 힘의 크기로부터 알 수 있다.

위에 언급한 세 종류의 힘을 편의상 절대력(absolute force), 가속력(accelerative force), 그리고 운동력(motive force)이라 부르기로 하자. 이들은 각각 “힘의 중심을 찾아가는 물체”와 “물체가 놓인 위치”, 그리고 “힘의 중심”과 관련되어 있다. 즉 운동력은 물체의 각 부분이 힘의 중심 쪽으로 이동하려는 경향을 모두 더한 전체적 경향이고, 가속력은 어떤 영향이 중심에서 주변으로 퍼져나갈 때 특정 위치에 있는 물체가 움직이는 정도를 나타낸다. 그리고 절대력은 중심에서 발휘되는 힘으로, 이 힘이 없으면 운동력이 주변으로 전달되지 않는다. 절대력은 중심에 놓인 어떤 물체로부터 생길 수도 있고(주변의 쇳덩이를 끌어당기는 자석, 또는 자신의 중심 쪽으로 중력을 행사하는 지구 등), 아직 알려지지 않은 다른 힘에 의해 생길 수도 있다. 단 지금까지 서술한 내용은 물리적 원인을 고려하지 않은 수학적 개념임을 명심하기 바란다.

가속력과 운동력의 관계는 속도와 운동의 관계와 같다. 운동량이 속도와 질량의 조합으로 표현되는 것처럼, 운동력은 가속력과 질량의 조합으로 표현된다. 물체를 구성하는 각 입자의 가속력에 의한 힘을 모두 더하면 물체에 작용하는 운동력이 얻어진다. 지표면 근처에서 중력 가속도(중력에 의해 나타나는 가속도)는 물체의 질량에 상관없이 일정하지만, 높은 곳으로 올라가면 중력 가속도가 작아져서 무게가 가벼워진다. 물체의 무게는 질량에 가속력(가속도)을 곱한 값이기 때문이다. 그러므로 중력 가속도가 지표면의 절반인 고도까지 올라가면 물체의 무게는 절반으로 줄어들고, 질량이 1/2, 또는 1/3인 물체는 이 고도에서 무게가 1/4, 또는 1/6로 줄어든다.

이런 의미에서 앞으로는 잡아당기는 힘(attraction)과 충격력(impulse)을 각각 가속력과 운동력으로 부를 것이다. 또한 이들을 포함하여 중심을 향하는 모든 힘은 물리적 개념이 아니라 수학적 관점에서 유도된 힘이기 때문에, 엄밀하게 구별하지 않고 혼용해서 쓸 것이다. 앞으로 이 책에서 “중심에서 인력이 작용한다”는 식으로 힘의 중심에 물리적 의미를 부여한다 해도, 그것을 문자 그대로 받아들일 필요는 없다. 힘의 종류나 작동하는 방식, 또는 물리적 원인도 마찬가지다. 힘의 중심이란 눈에 보이는 실체가 아니라 수학적인 점(point)에 불과하기 때문이다.

지금까지 나는 생소한 용어들을 정의하고, 앞으로 이 책에서 어떤 의미로 사용할 것인지를 설명했다. 시간, 공간, 위치, 운동은 대체로 익숙한 용어여서 따로 정의하지 않았는데, 사람들은 대부분 이 개념을 직관적으로 이해하고 있기 때문에 오해의 소지가 다분하다. 그래서 이들은 절대적 관점과 상대적 관점, 실체와 겉보기, 그리고 수학적 관점과 상식적 관점으로 구별할 필요가 있다.

실제적이면서 수학적인 절대적 시간은 외부의 어떤 기준과도 무관하며, 스스로 균일하게 흐른다. 이것을 “지속(duration)”⁽⁵⁾이라 불러도 무방하다. 반면에 상대적이고 상식적인 겉보기 시간은 물체의 운동을 기준 삼아 측정한 시간으로, 정확할 수도 있고 틀릴 수도 있다. 우리가 일상적으로 사용하는 연월일시는 겉보기 시간에 속한다.

절대 공간은 외부의 물체와 무관하게 스스로 존재하는 공간으로, 언제 어디서나 균등하고(homogeneous)⁽⁶⁾ 움직이지 않는다. 반면에 상대 공간이란 절대 공간 중에서 이동 가능한 일부분으로, 그 크기는 공간과 물체의 상호관계로부터 결정되며, 상식적인 관점에서 움직이지 않는 것으로 간주한다. 지구 내부의 공간이나 지구를 에워싼 대기층, 또는 지구 바깥의 하늘(우주 공간)이 상대 공간의 대표적 사례로, 이들의 위치는 지구와의 관계(지구와의 상대적 위치)에 따라 수시로 달라진다. 절대 공간과 상대 공간은 같은 종류의 공간으로 크기가 같지만, 수치적으로 항상 같은 것은 아니다. 예를 들어 지구의 대기는 우리의 관점에서 볼 때 항상 그 자리에 있는 것 같지만, 지구 자체가 움직이고 있기 때문에 절대 공간 속에서 대기의 위치는 수시로 변하고 있다.

물체가 점유한 공간은 절대 공간 또는 상대 공간의 일부로서 물체의 위치나 표면과는 다른 개념이다. 동일한 물체는 동일한 공간을 점유하지만, 표면적은 모양에 따라 얼마든지 달라질 수 있다. 그리고 물체의 위치는 양(quantity)을 갖지 않는다는 점에서 점유 공간과 다르다. 물체의 운동은 물체를 이루는 각 부분의 운동이 하나로 더해져서 나타나는 현상이다. 즉 물체가 점유한 공간이 이동한다는 것은 각 부분의 점유 공간이 일괄적으로 이동한다는 뜻이다. 그러므로 점유 공간의 전체 크기는 각 부분의 점유 공간을 더한 것과 같다.

절대 운동(absolute motion)이란 물체의 위치가 하나의 절대적 장소에서 다른 절대적 장소로 이동하는 현상이고, 상대 운동은 상대적인 위치가 변하는 현상이다. 항해 중인 배의 선실에 놓인 임의의 물체는 배와 함께 움직이고 있으므로 배에 대한 상대적 위치는 변하지 않는다. 즉 선원들의 눈에는 그 물체가 한 자리에 정지해 있는 것처럼 보인다. 그러나 진정한 정지 상태란 움직이지 않는 절대 공간에서 하나의 위치를 고수하는 상태이다. 배는 절대 공간에 대하여 움직이고 있으므로, 배에 대하여 상대적으로 정지해 있는 물체는 진정한 정지 상태라 할 수 없다. 만일 지구가 절대 공간에서 한 자리에 고정되어 있다면 배의 속도는 절대적인 속도이고, 선실에 놓인 물체도 배와 동일한 절대 속도로 나아가고 있다고 말할 수 있다. 그러나 지구는 움직이고 있으므로, 선실에 놓인 물체의 진정한 속도(절대 공간에 대한 속도)를 알려면 절대 공간에 대한 지구의 속도와 지구에 대한 배의 상대 속도를 결합해야 한다. 또한 배에 대하여 움직이는 물체의 절대 속도는 절대 공간에 대한 지구의 속도와 지구에 대한 배의 상대 속도, 그리고 배에 대한 물체의 상대 속도가 결합된 결과이다. 방금 언급한 2개의 상대 속도를 알면 지구에 대한 물체의 상대 속도를 알 수 있다. 예를 들어 지구에서 현재 배가 떠 있는 부분이 동쪽을 향해 10,010의 속도로 움직이고 있고, 배는 바람을 타고 서쪽으로 10이라는 속도로 항해한다고 가정해보자. 이때 배의 갑판에서 한 선원이 동쪽으로 1이라는 속도로 걸어가고 있다면 그의 절대 속도는 동쪽으로 10,001이며, 지구에 대한 그의 상대 속도는 서쪽으로 9이다.

천문학에서는 일반적으로 통용되는 시간에 특정한 방정식을 적용하여 절대 시간과 상대 시간을 구별한다. 우리는 시간의 척도로 “하루”라는 단위를 사용하고 있지만, 사실 하루의 길이는 시기와 장소에 따라 다르다. 그래서 천문학자들은 천체의 운동을 서술할 때 오차 보정을 거친 정교한 시간 단위를 사용하고 있다. 정확한 시간을 기준으로 삼으면 “완벽하게 균일한 운동”은 아예 존재하지 않을지도 모른다. 모든 운동은 가속되거나 감속될 수 있지만, 절대 시간은 어떤 경우에도 균일한 속도로 흐른다. 사물의 움직임이 빠르건 느리건 또는 아예 움직이지 않건, 이들이 존재하는 절대 시간은 달라지지 않는다.⁽⁷⁾ 그러므로 절대 시간은 우리가 통상적으로 사용하는 시간과 구별되어야 한다. 통상적인 시간에 천문학 방정식을 적용하면 정확한 시간(절대 시간)을 계산할 수 있다. 단진자의 주기를 측정하거나 목성의 위성에서 일어나는 일식 현상을 관측할 때는 이런 식으로 보정된 시간을 사용해야 한다.

시간의 순서는 절대로 바꿀 수 없다. 공간의 순서도 마찬가지다. 공간에 놓인 사물의 위치는 임의로 바꿀 수는 있지만, 공간 자체를 빵 썰 듯이 잘라서 그중 한 부분을 다른 곳으로 옮길 수는 없다. 시간과 공간은 그들 자신을 포함하여 모든 사물이 놓여 있는 고유한 장소이기 때문이다. 모든 사물은 시간을 따라 순차적으로 배열되어 있으며, 공간의 위치에도 이와 비슷한 순서가 존재한다. 이것은 시간과 공간의 본질이어서, 순서를 바꾸는 것은 원리적으로 불가능하다. 즉 공간상의 위치는 절대적인 개념이며, 위치를 바꿀 수 있는 것은 절대 운동뿐이다.

그러나 인간의 감각으로는 공간의 각 부분을 볼 수 없고 구별할 수도 없으므로 공간을 측정할 때는 감지 가능한 방법을 써야 한다. 한 가지 방법은 우리 눈에 움직이지 않는 것처럼 보이는 물체를 기준으로 삼아 다른 지점의 위치와 거리를 정의하는 것이다. 각 부위의 위치가 결정되면,⁽⁸⁾ 기준점에 대하여 움직이는 모든 물체의 운동을 서술할 수 있다. 물론 이런 식으로 서술된 운동은 절대 운동이 아닌 상대 운동으로, 철학 연구에는 적절치 않지만 일상적인 물체를 다룰 때는 별문제가 없다. 절대 공간에 대하여 완벽하게 정지해 있는 무언가를 운동의 기준으로 삼는다면, “진정한 정지 상태”에 있는 물체는 존재하지 않을지도 모른다.

“절대 운동 및 절대적 정지 상태”와 “상대 운동 및 상대적 정지 상태”는 원인과 결과가 다르고 운동의 특성도 본질적으로 다르다. 진정으로(즉 절대적으로) 정지해 있는 물체들은 상대방에 대해서도 완전하게 정지된 상태를 유지한다. 우주 먼 곳에 고정되어 있는 별들은 절대적 정지 상태일 수도 있다. 그러나 지구 근방에서는 물체들 사이의 거리와 방향을 비교하여 특정 물체가 절대적으로 정지 상태에 있는지 확인할 수 없다. 상대적 위치로는 “절대적 정지 상태”를 정의할 수 없기 때문이다.

견고한 물체가 움직일 때, 물체의 일부와 그 나머지 부분 사이의 상대적 위치 관계는 변하지 않는다. 즉 물체의 모든 부분이 일제히 같은 방향, 같은 속도로 이동한다. 회전 운동을 하는 물체는 모든 부분이 회전축으로부터 멀어지는 방향으로 힘을 받고, 앞으로 나아가는 물체의 전진력은 각 부위의 전진력을 더한 것과 같다. 그러므로 여러 개의 물체가 일제히 움직이고 있을 때, 그들에 대하여 정지해 있는 것처럼 보이는 물체는 사실 정지 상태가 아니라 그들과 함께 움직이고 있다. 우리 눈에 정지해 있는 것처럼 보이는 물체를 기준으로 삼아서는 다른 물체의 절대 운동을 알아낼 수 없다는 뜻이다. 어떤 물체를 절대 운동의 기준으로 삼으려면 절대적인 정지 상태에 있어야 한다. 기준이 움직이면 다른 물체들의 진정한 운동 상태(절대적인 운동 상태)를 알 수 없기 때문이다. 움직이는 기준에 대하여 정지해 있는 물체는 절대적인 정지 상태가 아니라, 정지해 있는 것처럼 보일 뿐이다. 이것은 과일의 껍질과 내용물의 관계와 같다. 과일을 허공에 던지면 껍질과 내용물이 함께 움직이기 때문에, 운동 궤적이 아무리 복잡해도 둘 사이의 상대적 위치는 변하지 않는다.

측정 영역이 통째로 움직이는 경우도 마찬가지다. 이 영역에 속한 어떤 물체가 영역 안에서 또 움직이고 있다면, 이 물체의 절대 운동은 “영역 자체의 운동”과 “영역 안에서 일어나는 운동”의 합으로 나타난다. 영역 자체의 운동 여부를 판단하는 기준조차 움직이고 있다면 그 기준의 운동도 더해주고, 기준의 기준도 움직이고 있다면 그 운동도 더해주고…. 이 과정은 절대로 움직이지 않는 기준에 도달할 때까지 계속된다. 이것은 앞에서 언급한 “움직이는 지구 위에서 항해 중인 배 위에서 움직이는 사람”과 비슷하다. 그러므로 물체의 절대 운동을 서술하려면 절대로 움직이지 않는 기준이 필요하다. 움직이는 물체를 기준으로 삼아 서술한 운동은 절대 운동이 아니라 상대 운동이다. 절대적으로 정지된 영역에서는 모든 물체의 위치가 고정되어 있어서 물체들 사이의 거리도 변하지 않는다.

운동을 일으키는 원인을 알면 진정한 운동(절대 운동)과 상대 운동을 구별할 수 있다. 절대 운동은 물체에 힘이 직접 가해졌을 때만 일어나는 반면, 상대 운동은 힘이 작용하지 않아도 일어날 수 있다. 우리가 관심을 갖고 있는 물체(A라 하자)는 가만히 있는데, 운동의 기준으로 삼은 다른 물체(B라 하자)에 힘이 작용하여 운동 상태가 변하면, B에 대한 A의 상대 운동이 달라지기 때문이다. 다시 한번 강조하건대, 절대 운동은 힘이 가해졌을 때만 변화가 생기고, 상대 운동은 힘이 작용하지 않아도 변할 수 있다. 그리고 특정한 상대 운동 관계에 있는 두 물체 A와 B에 똑같은 힘이 작용하면 둘 사이의 상대 운동은 달라지지 않고 상대적 위치도 그대로 유지된다. 다시 말해서 절대 운동이 변하지 않아도 상대 운동은 변할 수 있고, 절대 운동이 변해도 상대 운동은 변하지 않을 수 있다는 뜻이다. 절대 운동은 다른 운동과의 상대적 관계와 무관하다.

물체가 회전할 때 회전축으로부터 멀어지는 쪽으로 작용하는 힘은 절대 운동과 상대 운동을 구별할 수 있는 좋은 사례이다. 상대적 회전 운동에서는 이런 힘이 작용하지 않지만, 절대적 회전 운동에서는 운동량에 비례하는 힘이 확실하게 작용한다.⁽⁹⁾ 양동이에 물을 가득 담고 손잡이에 밧줄을 묶어서 높은 곳에 매달아 놓았다고 가정해보자. 양동이를 양손으로 잡고 한 방향으로 여러 번 돌리면 밧줄이 꼬일 것이다. 이 상태에서 손을 가만히 놓으면 꼬였던 밧줄이 풀리면서 양동이가 반대 방향으로 회전한다. 처음에는 양동이만 돌고 물은 돌지 않지만, 몇 바퀴 돌다 보면 양동이 벽의 마찰 때문에 물도 함께 돌기 시작하면서 평평했던 수면의 중심부가 오목하게 파이고 테두리의 수위가 높아진다(이것은 실험을 통해 확인된 사실이다). 처음에는 양동이의 회전 속도가 물보다 빨라서 파이는 정도가 그리 크지 않지만, 시간이 흐르면 양동이와 물이 똑같은 속도로 회전하면서 물의 중심부와 테두리의 수위가 가장 큰 차이를 보이게 된다. 테두리의 수면이 높아지는 것은 회전축으로부터 멀어지려는 힘이 물에 작용하기 때문이다. 물은 양동이와 함께 회전하고 있으므로 둘 사이에 상대 운동은 없는 상태지만, “절대적인” 원운동을 하고 있기 때문에 이와 같은 수면 변화가 초래된 것이다. 그러므로 물의 수면 상태를 관찰하면 절대적으로 정지해 있는지, 아니면 절대적인 원운동을 하고 있는지 확인할 수 있다. 처음(양동이만 돌고 물은 돌지 않을 때)에는 양동이와 물의 상대 속도가 가장 컸는데도 물은 중심으로부터 멀어지려 하지 않았고, 수면도 오목해지지 않았다. 즉 절대적인 원운동이 아직 일어나지 않은 것이다. 반면에 양동이와 물이 함께 돌 때는 둘 사이의 상대 운동이 줄어들었는데도 수면이 오목해진다. 물의 절대적 원운동이 비로소 시작되었기 때문이다. 물을 가장자리로 밀어내는 힘은 점점 강하게 작용하다가 물과 양동이의 회전 속도가 같아졌을 때 최대치에 도달한다. 그러므로 수면이 오목해지는 현상은 물과 양동이의 상대 운동과 무관하다. 즉 물과 양동이의 상대 운동으로는 진정한(절대적인) 원운동 여부를 판별할 수 없다. 회전하는 물체의 진정한 원운동은 단 하나뿐이며, 바로 이런 경우에 한하여 회전축으로부터 멀어지는 힘이 작용한다. 상대적 원운동은 주변과의 관계에 따라 무수히 많은 형태로 일어날 수 있지만, 실제적인 효과를 낳지 못한다. 천구(celestial sphere)⁽¹⁰⁾에는 고정된 별들과 이들이 거느리는 행성이 있고, 그 아래에는 회전하는 하늘이 있다. 하늘의 몇 개 영역과 행성들은 상대적으로 정지 상태에 있지만, 사실은 움직이고 있다. 이들은 상대적인 위치가 수시로 바뀌면서(절대적 정지 상태라면 있을 수 없는 일이다) 하늘과 함께 움직이고 있으므로, 회전축으로부터 멀어지려는 경향이 있다.

상대적 양은 문자 그대로 실제적인 양이 아니라 우리 눈에 보이거나 느껴지는 양이며(맞을 수도 있고 틀릴 수도 있다), 대부분 측정한 양보다 상대적 양이 주로 사용된다. 우리가 말하는 “시간”과 “공간”, “위치” 그리고 “운동”은 특별한 설명이 없는 한 상대적인 양이다. 그러므로 이런 양을 절대적인 양과 구별하지 않고 섞어서 쓰면 개념상의 혼란이 야기된다. 상대적 양을 실제 관측된 양(절대적 양)으로 해석하는 것은 수학과 철학을 심각하게 오염시키는 행위이다.

각 물체의 진정한 운동 상태를 파악하여 겉보기 운동(겉으로 드러난 운동)과 구별하는 것은 결코 쉬운 일이 아니다. 우리 눈에는 움직이거나 정지해 있는 물체만 보일 뿐, 절대 운동의 기준인 공간 자체는 보이지 않기 때문이다.⁽¹¹⁾ 그렇다고 희망이 전혀 없는 것은 아니다. 절대 운동과 상대 운동의 차이에서 나타나는 겉보기 운동을 정밀하게 관측하고, 진정한 운동에 영향을 주는 힘을 분석하면 절대 운동을 유추할 수 있다. 예를 들어 줄로 연결된 2개의 공을 상상해보자. 이들이 공통의 무게 중심(줄의 가운데 부분)을 중심으로 회전하는데도 줄이 팽팽해지지 않는다면, 이 원운동은 진정한 원운동이 아니다.⁽¹²⁾ 반면에 줄이 팽팽하게 당겨졌다면 원운동의 속도와 실에 걸린 장력을 관측하여 회전 운동의 진위 여부를 알아낼 수 있다.⁽¹³⁾ 두 공에 크기가 같고 방향이 반대인 힘이 동시에 작용하여 원운동이 더 빨라지거나 느려지면 줄의 장력을 측정하여 운동이 변한 원인을 알아낼 수 있으며, 원운동을 최대화하려면 공에 어느 방향으로 힘을 가해야 하는지도 알 수 있다. 이 과정을 거치면 원운동을 하는 공의 앞면(진행 방향을 바라보는 면)과 뒷면을 식별하여 원운동의 방향을 알아낼 수 있다. 진정한 원운동이 진행되고 있다면, 운동을 비교할 물체가 전혀 없는 텅 빈 공간에서도 원운동의 양(속도)과 방향을 알 수 있다는 뜻이다. 멀리 떨어진 곳에서 여러 개의 물체가 상대적 거리를 유지하고 있고(밤하늘의 별들이 이런 경우에 속한다) 그 안에서 줄에 묶인 2개의 공이 회전하고 있다면, 물체와 공의 상대적 위치 변화만으로는 공이 정말로 돌고 있는지, 또는 공을 제외한 모든 물체가 일제히 돌고 있는지 확인할 수 없다. 그러나 줄에 걸린 장력을 관측한 값이 해당 원운동에 필요한 힘과 일치한다면 회전하는 것은 공이고 다른 물체들은 정지 상태에 있다고 결론지을 수 있다. 그리고 물체와 공의 상대적 위치 변화로부터 원운동의 방향도 알 수 있다. 앞으로 이 책에서는 “운동의 원인과 결과, 그리고 겉으로 드러난 차이로부터 운동을 알아내는 방법”과 “주어진 운동으로부터 운동의 원인과 결과를 알아내는 방법”을 자세히 설명할 예정이다. 이것은 내가 이 책을 집필하는 목적이기도 하다.⁽¹⁴⁾

모든 물체는 외부에서 힘이 작용하지 않는 한, 정지 상태나 등속 직선 운동 상태⁽¹⁵⁾를 유지하려는 경향이 있다.

허공으로 던진 물체는 공기의 저항 때문에 속도가 느려지고 중력 때문에 아래로 떨어진다. 그러나 공기와 중력이 없다면 물체는 똑같은 속도로 직선을 그리며 날아갈 것이다. 팽이가 직선이 아닌 원을 그리며 도는 이유는 팽이를 구성하는 입자들이 강한 힘으로 결합되어 있기 때문이다. 공기와 바닥의 저항이 없으면 팽이는 영원히 돌아갈 것이다. 행성이나 혜성과 같은 대형 천체들은 공기 저항이 없는 우주 공간에서 움직이기 때문에 전진 운동과 회전 운동을 오랜 시간 동안 유지할 수 있다.

운동 상태가 변하는 정도는 물체에 가해진 힘에 비례하며, 변하는 방향은 힘이 가해진 방향과 같다.

어떤 힘이 운동을 야기했다면 그 2배의 힘은 2배의 운동을 야기하고, 3배의 힘은 3배의 운동을 야기한다. 힘이 한 번에 작용하건 여러 번에 나눠서 작용하건, 결과는 마찬가지다. 이미 움직이는 물체에 새로운 힘이 가해진 경우, (운동은 항상 힘이 작용하는 방향으로 생기기 때문에) 원래 운동과 새로 가해진 힘이 같은 방향이면 최종 운동은 이들을 더한 결과로 나타나고, 반대 방향이면 둘 사이의 차이로 나타난다. 원래 운동과 새로 가해진 힘이 비스듬한 각도를 이루는 경우, 최종 운동 방향을 구하려면 이들을 “비스듬하게” 더해야 한다.⁽¹⁶⁾

모든 작용(action, 힘)에는 크기가 같고 방향이 반대인 반작용(reaction)이 수반된다. 다시 말해서, 두 물체 사이에 교환되는 힘은 항상 크기가 같고 방향이 반대이다.

a라는 물체가 b라는 물체를 밀거나 당기면, a는 b에 의해 똑같은 힘으로 당겨지거나 밀려나게 된다. 손가락으로 돌멩이를 밀면 돌멩이는 손가락을 똑같은 힘으로 반대 방향으로 밀어내고, 커다란 바위를 말고삐에 밧줄로 연결하여 잡아끌면 바위는 말을 똑같은 힘으로 반대 방향으로 잡아당긴다. 팽팽하게 당겨진 밧줄은 자신의 양 끝에 묶여 있는 물체를 잡아당겨 원래의 느슨한 상태로 돌아가려는 성질이 있기 때문에 말을 바위 쪽으로 잡아당기고, 이와 동시에 돌을 말이 있는 쪽으로 잡아당긴다. 즉 한쪽의 운동을 방해하면서 다른 쪽의 운동을 똑같은 정도로 촉진하는 것이다. 물체 a가 물체 b에 힘을 가하여 운동 상태를 바꿔놓으면 (작용과 반작용은 항상 크기가 같고 방향이 반대이기 때문에) b의 운동 상태는 a가 겪은 변화만큼 반대 방향으로 변한다. 여기서 “운동의 변화”는 속도의 변화가 아닌 “운동량의 변화”를 의미한다. 즉 작용과 반작용을 교환한 두 물체의 속도 변화량은 다를 수 있지만, 운동량의 변화량은 항상 똑같다. 그런데 운동량은 질량과 속도의 곱이므로, 속도의 변화량은 각 물체의 질량에 반비례한다.⁽¹⁷⁾ 다음 그림에서 알게 되겠지만, 이 법칙은 두 물체가 서로 밀어내는 경우뿐만 아니라 잡아당기는 경우에도 똑같이 성립한다.

방향이 각기 다른 2개의 힘이 한 물체에 동시에 가해졌을 때, 양변의 방향이 두 힘의 방향과 같은 평행사변형을 상상해보자. 그리고 이 평행사변형의 두 변의 길이는 두 힘이 같은 시간 동안 개별적으로 가해졌을 때 물체가 이동하는 거리와 같다고 하자. 그러면 두 힘이 동시에 가해졌을 때 물체가 이동하는 방향은 전술한 평행사변형의 대각선 방향과 같으며, 같은 시간 동안 이동한 거리는 대각선의 길이와 같다.

<그림 공리-1>
물체가 있는 곳을 A라 하자. 여기에 M이라는 힘을 가하면 물체는 특정 시간 동안 A에서 B로 균일하게 움직이고, N이라는 힘을 가하면 같은 시간 동안 A에서 C로 움직인다고 하자. 그러면 ABC를 모두 포함하는 평행사변형 ABCD가 정의된다. 이제 A에 있는 물체에 힘 M과 N이 동시에 작용하면, 물체는 평행사변형 ABCD의 대각선 AD의 방향으로 이동하며, 같은 시간(힘 M만 작용했을 때 물체가 A에서 B로 이동하는 데 걸리는 시간, 또는 힘 N만 작용했을 때 물체가 A에서 C로 이동하는 시간) 동안 이동한 거리는 AD의 길이와 같다. 왜 그런가? 지금부터 그 이유를 알아보자. 위에서 말한 대로 힘 N은 AC 방향으로 물체를 이동시킨다. 그런데 제2법칙에 의하면 이 힘은 물체가 선분 BD 쪽(그림에서 오른쪽)으로 이동하는 데 아무런 기여도 하지 않는다. 즉 그림에서 오른쪽으로 방향으로 나타나는 속도 변화는 N이 아닌 M 때문에 생긴 것이다. 그러므로 주어진 시간 동안 물체는 BD에 도달한다. 즉 물체에 힘 N이 작용하건 작용하지 않건, 주어진 시간이 흐른 후 물체는 선분 BD 상의 어딘가에 도달해야 한다. 그리고 힘 M과 N의 역할을 바꿔서 동일한 논리를 전개하면 물체는 선분 CD 상의 어딘가에도 도달해야 한다. 다시 말해서, 물체는 BD 상에 존재하고 CD 상에도 존재해야 한다는 뜻이다. 그런데 BD와 CD가 공유하는 점(만나는 점)은 D밖에 없으므로, 힘 M과 N이 동시에 작용하여 주어진 시간이 지나면 물체는 D에 도달할 수밖에 없다. 또한 이 물체는 제1법칙에 따라 A와 D를 잇는 직선을 따라 이동한다.

그러므로 한 물체에 서로 비스듬한 방향(AB와 BD 방향)으로 작용하는 두 힘은 하나의 힘(AD 방향)으로 대치할 수 있으며, 이와 반대로 하나의 힘은 방향이 다른 2개의 힘으로 분해할 수 있다. 이런 식의 합성과 분해는 다양한 역학적 실험을 통해 검증된 사실이다.

조금 비정상적인 수레바퀴를 상상해보자. 바퀴의 중심은 O이고 OM과 ON은 바큇살인데, 길이가 같지 않다(ON이 OM보다 길다). 두 바큇살의 끝, 즉 M과 N에는 각각 A와 P라는 추가 달려 있다. MA와 NP는 두 추를 매달고 있는 줄을 나타낸다. 우리에게 주어진 과제는 이 상태에서 바퀴를 돌리는 힘, 즉 회전력의 크기를 계산하는 것이다. O를 지나면서 MA, NP와 직각으로 만나는 직선 KOL을 그려보자. ON이 OM보다 길다고 했으므로 OL은 OK보다 길다. 다음으로, OL을 반지름으로 하는 원을 그려서 MA와 만나는 점을 D라 하고, O와 D를 연결하는 직선 OD를 긋는다. 그리고 A에서 OD와 평행한 선을 그어서 OD의 수선(직각을 이루는 선)과 만나는 점을 C라 하자. 줄에 걸리는 무게는 줄의 길이와 무관하므로, 두 추가 걸린 지점을 M과 L 대신 K와 L, 또는 D와 L로 대치해도 줄의 장력은 달라지지 않는다. 이제 추 A가 가하는 힘의 크기가 선분 AD와 같다고 가정하면, 이 힘은 AC 방향과 DC 방향의 두 성분으로 분해할 수 있다. AC 방향 성분은 OD 방향으로 난 바큇살을 중심 쪽으로 밀기 때문에 바퀴의 회전에 아무런 기여도 하지 않는다. 반면에 DC 방향 성분은 OD 방향으로 난 바큇살을 살과 수직한 방향으로 잡아당기는데, 이 힘은 OD와 길이가 같은 OL에 수직한 방향으로 힘이 작용한 것과 동일한 효과를 낳는다. 그러므로 추 P와 A의 무게 비율이 DC와 DA의 길이 비율과 같으면(즉 P의 무게:A의 무게=DC:DA이면) 바퀴의 양쪽에 똑같은 힘이 작용하여 어느 쪽으로도 돌지 않고 평형 상태를 유지하게 된다. 그런데 삼각형 ADC와 DOK는 닮은꼴이므로 DC와 DA의 비율은 OK와 OD의 비율과 같고, OD는 OL과 길이가 같다. 따라서 추 P와 A의 무게 비율이 선분 OK와 OL(이들은 일직선에 있다)의 길이 비율과 같으면 바퀴는 평형 상태를 유지한다. 이것은 이미 잘 알려진 저울, 지렛대, 바퀴 축의 특성이기도 하다. 물론 추의 무게 비율이 이 관계에서 벗어나면 바퀴는 무거운 추가 당기는 방향으로 회전한다.

이제 P와 무게가 같은 또 하나의 추 p를 N에 매달아보자. p는 비스듬한 각도로 매달려 있어서, 무게의 일부가 줄 Np에 걸리고 나머지 무게는 비스듬한 바닥 pG에 의해 떠받쳐진 상태라고 하자. 그리고 p에서 수평선과 수직한 방향(연직 방향)으로 선을 긋고, N에서 pG 평면과 수직한 방향으로 선을 그어서, 이들이 만나는 점을 H라 하자. 그러면 추 p의 무게는 pN 방향 성분과 NH 방향 성분으로 나눌 수 있다. 만일 pN에 수직한 방향으로 또 하나의 평면 pQ가 설치되어 있어서 추 p가 두 면에 모두 닿아 있다면, 평면 pQ와 pG에는 각각 pN, HN의 힘이 가해질 것이다. 이 상태에서 평면 pQ를 제거하면 pQ가 떠받치던 무게가 줄 pN에 고스란히 전달된다. 이때 pN에 걸린 장력과 연직 방향 줄 PN에 걸린 장력의 비율은 선분 pN과 pH의 길이 비율과 같다. 그러므로 p와 A의 무게 비율이 이들을 매달고 있는 줄과 바퀴 중심 사이의 최단 거리의 역비율과 같으면서 pH와 pN의 비율과 같으면(즉 p의 무게:A의 무게=pH:pN이면) 2개의 추가 바퀴를 돌리는 힘이 균형을 이루게 된다. 이것 역시 실험을 통해 확인할 수 있다.

그림에서 2개의 비스듬한 평면 pG와 pQ에 의지하고 있는 추 p를 V자형 쐐기라고 생각해보자. 그러면 pG와 pQ는 쐐기가 박히는 물체의 갈라진 틈에 해당한다. 이 경우 쐐기가 물체에 가하는 힘을 계산할 수 있을까? 물론 할 수 있다. p가 pQ에 가하는 힘과 pH 방향으로 p에 가해지는 힘(p 자체의 무게, 또는 망치로 가해진 힘)의 비율은 pN과 pH의 비율과 같고, p가 pQ에 가하는 힘과 pG에 가하는 힘의 비율은 pN과 NH의 비율과 같다. 나사못에 가해지는 힘도 이와 비슷한 힘 분해 과정을 거쳐 계산 가능하다. 나사못은 지레의 원리를 이용하여 쐐기를 밀어 넣는 것과 같다. 지금까지 설명한 부가법칙은 매우 다양한 방면에 적용할 수 있으며, 수많은 실험을 통해 사실로 판명되었다. 모든 역학은 여기서 설명한 내용에 기초하고 있으며, 이로부터 바퀴와 도르래, 지레, 줄, 수직 또는 경사각으로 들어올리는 물체의 하중 등 모든 기계의 원리와 작동에 필요한 힘을 계산할 수 있다. 동물의 뼈를 움직이는 근육의 작동 원리도 마찬가지다.

주어진 물리계의 총운동량은 한 방향으로 진행하는 각 부분의 운동량의 합에서 반대 방향으로 진행하는 운동량의 합을 뺀 값이며, 부분들 사이의 상호작용은 총운동량에 아무런 영향도 주지 않는다.

운동의 제3법칙에 의해 작용과 반작용은 크기가 같으면서 방향이 반대이다. 그러므로 제2법칙에 의해 작용과 반작용으로부터 야기되는 운동의 변화도 크기가 같고 방향이 반대이다. 두 물체가 같은 방향으로 진행하다가 작용-반작용을 교환하여 첫 번째 물체의 운동량이 증가했다면, 두 번째 물체의 운동량이 감소하여 총운동량은 변하지 않는다.⁽¹⁸⁾ 반면에 두 물체가 서로 반대 방향으로 진행하다가 정면 충돌한 경우에는 두 물체의 운동량이 똑같은 양만큼 감소하는데, 원래 진행 방향이 반대였으므로 이 경우에도 총운동량은 변하지 않는다.

예를 들어 구형 물체 A가 2라는 속도로 직선을 따라 움직이고, 질량이 A의 1/3인 구형 물체 B가 10이라는 속도로 A를 따라간다고 가정해보자. 운동량은 질량에 속도를 곱한 값이므로 A와 B의 운동량 비율은 6:10이다. 편의상 A의 운동량을 6, B의 운동량을 10이라 하자. 그러면 이 물리계의 총운동량은 16이다. 얼마의 시간이 지난 후 두 물체가 충돌(사실은 추돌)하면서 A가 3 또는 4 또는 5의 운동량을 추가로 얻었다면, B는 이에 해당하는 운동량을 잃을 것이다. 즉 추돌 후 A의 운동량은 9 또는 10 또는 11로 증가하고, B의 운동량은 7 또는 6 또는 5로 감소한다. 어떤 경우에도 A와 B의 운동량을 더한 값은 충돌 전의 운동량인 16에서 벗어나지 않는다. 추돌 후 A의 운동량이 9 또는 10 또는 11 또는 12만큼 증가했다면, A는 15 또는 16 또는 17 또는 18이라는 운동량을 갖고 원래 진행 방향으로 움직이고, B는 1이라는 운동량으로 계속 진행하거나(운동량 9를 잃은 경우), 추돌과 동시에 운동량을 모두 잃고 그 자리에 멈춰 서거나(운동량 10을 잃은 경우), 1이라는 운동량을 갖고 반대 방향으로 튕겨나가거나(운동량 11을 잃은 경우), 2라는 운동량을 갖고 반대 방향으로 튕겨나간다(운동량 12를 잃은 경우). A와 B가 추돌 후에도 같은 방향으로 진행하는 경우, 총운동량은 15+1이나 16+0이 되어 충돌 전과 같고, B가 반대 방향으로 튕겨나간 경우에도 총운동량은 17-1이나 18-2가 되어 역시 충돌 전과 같다. 그리고 대부분의 물체는 충돌 전의 질량과 충돌 후의 질량이 같기 때문에, 충돌 후의 운동량을 알면 충돌 후의 속도도 알 수 있다.⁽¹⁹⁾ 운동량은 질량에 속도를 곱한 값이어서, 질량이 일정하면 운동량의 비율은 속도의 비율과 같기 때문이다. 예를 들어 위의 사례에서 충돌 전 속도가 2이고 운동량이 6이었던 물체 A가 충돌 후 운동량이 18로 증가했다면, 충돌에 의해 운동량이 3배 증가했으므로 속도도 3배 증가하여 6이 된다.

물체가 구형이 아니거나 비스듬한 각도로 충돌했을 때 충돌 후 운동량을 계산하려면 충돌의 순간에 두 물체가 접하는 면의 방향을 알아낸 후, 모든 운동량을 이 면에 수직한 성분과 평행한 성분으로 분해해야 한다. 충돌 면에 수직한 운동량 성분은 위에서 언급한 보존 법칙을 따르고, 평행한 성분은 충돌 후에도 똑같이 유지된다. 두 물체의 수직 운동량 성분은 각기 반대 방향으로 똑같은 양만큼 변하여, 충돌 후 같은 방향으로 진행하는 경우에는 운동량의 합이 충돌 전 운동량의 합과 같고, 반대 방향으로 진행하는 경우에는 운동량의 차이가 충돌 전 운동량의 합과 같다.⁽²⁰⁾ 두 물체가 충돌하면서 충돌 전에 없었던 회전 운동이 나타날 수도 있는데, 기본 원리는 똑같이 적용되지만 계산 과정이 매우 복잡하기 때문에 이 책에서는 다루지 않기로 한다.

2개 이상의 물체들이 모여 있을 때, 이들 사이의 상호작용으로는 공통 무게 중심의 운동 상태가 변하지 않는다. 외부에서 별도의 힘을 가하지 않는 한, 무게 중심은 정지 상태를 유지하거나 등속 직선 운동을 한다.

2개의 점이 각기 다른 등속 직선 운동을 하는 경우, 둘 사이의 거리를 특정 비율로 분할한 점은 한 자리에 정지해 있거나 등속 직선 운동을 한다. 자세한 증명은 1권 5장의 보조정리 23에서 다룰 예정이다. 이것이 증명되면 “여러 개의 점이 하나의 평면 위에서 움직이는 경우에도 무게 중심은 정지해 있거나 등속 직선 운동을 한다”는 부가 정리도 쉽게 증명된다. 그리고 점들이 하나의 평면에 구속되어 있지 않은 경우에도 이와 비슷한 논리를 적용하여 똑같은 법칙이 성립한다는 것을 증명할 수 있다. 그러므로 여러 개의 물체가 각기 다른 등속 직선 운동을 하고 있을 때, 임의로 고른 두 물체의 공통 무게 중심은 정지 상태에 있거나 등속 직선 운동을 한다. 각 물체의 무게 중심을 연결한 직선은 공통 무게 중심에 의해 특정 비율로 분할되기 때문이다.⁽²¹⁾ 이와 마찬가지로, 방금 고른 두 물체와 세 번째 물체의 공통 무게 중심도 정지 상태에 있거나 등속 직선 운동을 한다. 두 물체의 공통 무게 중심과 세 번째 물체의 무게 중심 사이의 거리가 세 물체의 공통 무게 중심에 의해 특정 비율로 분할되기 때문이다. 여기서 물체를 더 추가해도 결과는 마찬가지다. 등속 직선 운동을 하는 네 물체의 공통 무게 중심은 정지 상태에 있거나 직선 운동을 하며… 이런 식으로 끝없이 계속된다. 그러므로 여러 개의 물체로 이루어진 물리계에서 물체들 사이에 상호작용이 전혀 없고 외부의 힘도 작용하지 않으면서 모든 물체가 저마다 다른 등속 직선 운동을 하고 있다면, 이들의 공통 무게 중심은 한 자리에 정지해 있거나 등속 직선 운동을 한다.

2개의 물체가 상호작용을 주고받는 물리계의 경우, 각 물체의 무게 중심에서 공통 무게 중심까지의 거리는 질량에 반비례하기 때문에, 서로 가까이 접근하건 멀어지건 두 물체의 상대적 운동량은 똑같다. 그런데 이들의 운동량 변화는 크기가 같고 방향이 반대이므로, 상호작용을 교환해도 공통 무게 중심은 가속되거나 감속되지 않는다. 즉 공통 무게 중심은 정지 상태나 등속 직선 운동 상태를 유지한다. 여러 개의 물체로 이루어진 물리계에서 두 물체가 상호작용을 교환한다 해도 두 물체의 공통 무게 중심의 운동 상태는 변하지 않으며, 나머지 물체들(방금 언급한 두 물체의 상호작용과 무관한 물체들)의 공통 무게 중심도 두 물체 사이에 교환되는 상호작용의 영향을 받지 않는다. 물리계 전체의 공통 무게 중심은 전술한 2개의 공통 무게 중심(상호작용을 교환하는 두 물체의 공통 무게 중심과 나머지 물체들의 공통 무게 중심)을 잇는 직선을 질량의 역비율로 내분한다.⁽²²⁾ 그리고 2개의 공통 무게 중심은 외력이 작용하지 않는 한 운동 상태가 변하지 않으므로, 전체 무게 중심도 현재의 운동 상태를 유지한다. 간단히 말해서, 2개의 물체가 상호작용을 교환한다 해도 이들이 속한 물리계 전체의 공통 무게 중심은 정지 상태나 등속 운동 상태를 유지한다는 것이다. 그런데 일반적으로 계의 상호작용은 물체들이 한 쌍씩 짝을 지어 교환하는 상호작용의 합이므로, 어떤 상호작용도 공통 무게 중심의 운동 상태를 바꿀 수 없다. 물체들이 상호작용을 전혀 하지 않을 때 공통 무게 중심은 정지해 있거나 등속 직선 운동을 한다. 따라서 물체들이 어느 순간부터 상호작용을 교환한다 해도, 외부로부터 힘이 작용하지 않는 한 공통 무게 중심은 정지 상태나 등속 직선 운동을 유지한다. 이것은 앞서 언급했던 운동의 제2법칙과 동일하다. 모든 만물이 현재의 운동 상태(정지 상태나 등속 직선 운동 상태)를 유지한다는 법칙은 물체가 하나인 경우뿐만 아니라 여러 물체로 이루어진 물리계에서도 똑같이 성립한다. 물체가 하나이건 여러 개이건, 모든 움직임은 무게 중심의 운동으로 나타나기 때문이다.

주어진 공간에서 여러 물체가 움직이고 있을 때, 공간 자체가 정지해 있거나 등속 직선 운동을 해도 이들의 상대 운동은 달라지지 않는다. 단 공간이 회전하는 경우는 예외이다.⁽²³⁾

2개의 물체가 같은 방향으로 이동할 때 이들의 상대 운동은 두 운동의 차이로 나타나고, 반대 방향으로 움직일 때는 두 운동의 합으로 나타난다. 두 물체가 충돌(또는 추돌)하면서 초래된 변화는 이 합과 차이에 모두 포함되어 있다. 그러므로 공간이 정지해 있건 등속으로 움직이건 간에 두 물체의 충돌 효과는 운동의 제2법칙에 의해 똑같이 나타나며, 두 물체의 상대 운동도 달라지지 않는다. 이것은 일상적인 경험을 통해 쉽게 확인할 수 있다. 배의 갑판에서 여러 물체가 동시다발적으로 움직일 때, 이들 사이의 상대 운동은 배가 항구에 정박해 있을 때나 바다를 항해 중일 때나 똑같이 나타난다.

각기 나름대로 움직이고 있는 여러 물체에 일제히 한 방향으로 똑같은 가속력이 작용했을 때, 이들의 상대 운동은 가속력이 작용하기 전과 완전히 동일하다.⁽²⁴⁾

이런 힘이 균일한 방향으로 작용하면(힘의 세기는 질량에 비례한다) 모든 물체는 (운동의 제2법칙에 의해) 똑같은 정도로 움직이기 때문에, 이들 사이의 상대적 운동 상태는 달라지지 않는다.

지금까지 언급한 법칙들은 수학자들 사이에서도 통용되는 내용으로, 다양한 실험을 통해 사실로 확인되었다. 갈릴레오는 운동의 제1법칙과 제2법칙, 부가법칙 1, 2를 이용하여 무거운 물체가 자유 낙하⁽²⁵⁾할 때 떨어지는 거리는 시간의 제곱에 비례하고, 비스듬한 각도로 발사된 물체는 포물선 궤적을 그린다는 사실을 알아냈다. 이것도 실험을 통해 확인되었는데, 실제로는 공기 저항 때문에 약간의 오차가 발생한다. 특정 물체에 작용하는 중력은 언제 어디서나 똑같기 때문에⁽²⁶⁾ 특정 시간 동안 물체에 일정한 힘이 가해져서 속도가 일정하게 증가한다. 즉 떨어지는 물체의 속도는 시간에 비례한다. 그리고 물체가 떨어진 거리는 속도와 시간의 곱에 비례하므로, 결국은 시간의 제곱에 비례하여 증가한다. 물체를 위로 던지면 중력이 물체의 속도를 빼앗아가는데, 이 경우에도 속도의 감소량은 시간에 비례한다. 이 물체가 가장 높은 지점에 도달할 때까지 걸리는 시간은 중력에 속도를 모두 빼앗기는 데 걸리는 시간과 같고, 최고점의 높이는 속도와 시간의 곱에 비례하므로 결국은 속도의 제곱에 비례한다.⁽²⁷⁾ 그리고 물체를 비스듬한 방향으로 던지면 물체 고유의 운동과 중력의 영향이 복합적으로 작용하여 특정한 곡선 궤적을 그리게 된다.

예를 들어 A라는 지점에서 물체를 AB 방향으로 던졌을 때, 중력이 작용하지 않는다면 직선을 따라 똑바로 나아갈 것이다. 이 경우에 특정 시간 동안 물체가 진행한 거리를 AB라 하자. 그리고 이 물체를 A에서 자유 낙하시켰을 때 같은 시간 동안 떨어진 거리를 AC라 하면 평행사변형 ABCD가 정의된다. 중력이 작용하는 곳에서 AB 방향으로 발사된 물체의 실제 궤적은 고유의 운동(AB)과 중력의 영향(AC)이 복합적으로 작용하여, 같은 시간 동안 D에 도달한다. 이 물체가 그리는 궤적은 점 A에서 직선 AB에 접하는 포물선이며, BD는 AB의 제곱과 같다.

운동의 제1법칙과 제2법칙, 부가법칙 1, 2를 이용하면 진자(pendulum)가 왕복하는 데 걸리는 시간을 계산할 수 있으며, 그 결과는 실험을 통해 사실로 확인되었다. 이 시대 최고의 기하학자로 꼽히는 크리스토퍼 렌 경(Sir Christopher Wren, 1632-1723)과 존 월리스 박사(Dr. John Wallis, 1616-1703), 그리고 크리스티안 하위헌스는 거의 비슷한 시기에 각자 독립적으로 제3법칙과 세 번째 부가법칙을 추가로 적용하여 견고한 물체의 충돌 및 산란 문제를 풀어서 영국 왕립학회에 발표했는데, 이들이 얻은 결과는 모두 사실과 일치하는 것으로 판명되었다. 논문을 제일 먼저 출판한 사람은 월리스였지만(하위헌스의 논문이 가장 늦게 출판되었다) 크리스토퍼 렌은 자신이 얻은 결과를 진자에 적용하여 왕립학회 회원들에게 타당성을 증명했고, 얼마 후 에듬 마리오트(Edme Mariotte, 1620-1684)⁽²⁸⁾는 여기에 기초하여 진자의 운동을 주제로 한 책을 출판했다.

그러나 이론과 실험이 정확하게 일치하려면 충돌하는 물체의 탄성력과 공기 저항을 고려해야 한다. 그림과 같이 진자 A, B가 각각 C와 D에서 길이가 같은 줄에 매달려 있다고 가정해보자(AC=BD). 진자가 흔들리면 각각 EAF와 GBH라는 반원을 그리고, 반지름 AC와 BD는 자신이 속한 반원을 이등분한다. 이제 B를 제거한 상태에서 A를 반원 EAF 위의 한 점 R까지 들어올렸다가 가만히 놓았을 때, 한 번 진동한 후 되돌아온 지점을 V라 하자. 원호 RV는 진자의 왕복 운동이 공기 저항을 받아 줄어든 정도를 나타낸다. RV의 중앙에 RV의 길이의 1/4에 해당하는 ST를 잡으면 RS와 TV는 길이가 같고, RS와 ST의 길이 비율은 3:2가 된다. 여기서 ST는 진자가 S에서 A로 내려가는 동안 공기 저항에 의해 줄어든 진폭과 거의 일치한다. 이제 진자 B를 다시 매달고 진자 A를 S에서 가만히 놓으면 최저 지점에 도달했을 때 B와 충돌할 것이다. 이때 A의 속도는 진공 중에서 진자 A가 T에서 출발하여 A에 도달했을 때의 속도와 거의 정확하게 일치한다.⁽²⁹⁾ 그런데 모든 기하학자가 알고 있듯이 최저점에 도달한 진자의 속도는 출발점부터 최저점까지 진자가 그린 호에 해당하는 현의 길이에 비례하므로, 진자 A가 최저점에 도달했을 때의 속도는 현 TA로 나타낼 수 있다.⁽³⁰⁾ 충돌 후 진자 A는 s까지, B는 k까지 도달했다고 하자. 여기서 진자 B를 다시 제거하고 반원 EAF의 오른쪽에 v라는 점을 잡는다. 진자 A가 이 지점에서 출발하여 한 번 진동한 후 도달하는 위치를 r이라 하자. 그리고 rv의 1/4에 해당하는 짧은 원호 st를 rv의 중앙에 위치시키면 rs와 tv의 길이가 같아지고, 호 tA에 대응되는 현은 진자 A가 최저점에서 충돌한 직후의 속도를 나타낸다. v에서 출발한 진자는 공기 저항이 없을 때 t에서 출발한 것과 같기 때문이다. 진자 B가 오른쪽으로 도달하는 지점도 이와 비슷한 방법으로 수정할 수 있다. 공기 중에서 B가 k에 도달했다면, 진공에서는 l에 도달한다. 그러면 이 진자 실험은 진공에서 수행한 실험으로 대체할 수 있다. 진자 A의 질량에 현 TA의 길이(진자 A의 속도)를 곱하면 A 지점에서 충돌하기 직전의 운동량이 얻어지고, A의 질량에 현 tA의 길이를 곱하면 충돌 직후의 운동량이 얻어진다. 또한 충돌 직후 B의 운동량은 진자 B의 질량에 현 Bl의 길이를 곱하여 얻을 수 있다. 그러므로 이와 비슷한 방법을 사용하면 2개의 진자가 각기 다른 위치에서 동시에 출발했을 때 충돌 직전과 직후의 운동량을 알 수 있고, 이 값을 비교하여 충돌에 의한 효과를 계산할 수 있다.

나는 길이가 10피트인 여러 개의 줄에 질량이 같거나 다른 여러 개의 진자를 매달아서 8, 12, 또는 16피트까지 들어올렸다가 충돌시키는 실험을 여러 차례 수행하여, 두 진자의 운동량이 반대 방향으로 똑같은 양만큼 변한다는 사실을 확인했다(오차의 범위는 3인치 이내였다). 이것은 작용과 반작용이 크기가 같고 방향이 반대라는 제3법칙과 일치한다. 예를 들어 진자 A가 9라는 운동량으로 이동하다가 정지 상태에 있는 진자 B와 충돌하여 운동량 7을 잃고 2라는 운동량으로 계속 나아간다면, B는 운동량 7을 갖고 튕겨나간다. 그리고 운동량이 12인 A와 운동량이 6인 B가 서로 반대 방향으로 진행하다가 정면 충돌하여 A가 운동량 2로 튕겨나갔다면(진행 방향이 정반대로 바뀌었다면), B는 8이라는 운동량을 갖고 역시 반대 방향으로 튕겨나간다. 충돌 전에 12였던 A의 운동량이 반대 방향 운동량 2로 변했다는 것은 운동량이 14만큼 변했다는 뜻이다. 그렇다면 B의 운동량도 14만큼 변해야 하므로 6-14=-8, 즉 8이라는 운동량을 갖고 반대 방향으로 퉁겨나간다. 그러나 운동량이 14인 A와 운동량이 5인 B가 같은 방향으로 움직이다가 추돌하여(A가 B보다 빠르다고 가정하자) A의 운동량이 5로 줄어들었다면, B는 A가 잃은 운동량을 추가로 획득하여 5+9=14의 운동량으로 진행하게 된다. 다른 경우도 숫자만 다를 뿐 원리는 동일하다. 두 물체가 같은 방향으로 움직일 때는 충돌 전과 충돌 후 운동량의 합이 변하지 않고, 반대 방향으로 움직일 때는 운동량의 차이가 변하지 않는다.⁽³¹⁾ 실제 실험에서는 1~2인치 정도의 오차가 발생하는데, 이것은 공기 저항 등 운동을 방해하는 여러 요인을 완벽하게 감안하기가 그만큼 어렵기 때문이다. 예를 들어 2개의 진자를 동시에 출발시켜서 정확하게 최저점에서 충돌하도록 만들기란 여간 어려운 일이 아니다. 그리고 충돌 후에 진자가 도달한 위치 s와 k를 정확하게 파악하는 것도 결코 쉽지 않다. 게다가 진자로 사용한 구형 추의 밀도와 표면의 질감이 균일하지 않은 것도 오차를 유발하는 원인 중 하나이다.

언뜻 위에서 펼친 논리가 “완벽하게 단단한 물체”나 “탄성력이 완벽한 물체”에만 적용되는 것처럼 보일 수도 있다. 물론 현실 세계에는 이런 물체가 존재하지 않는다. 그러나 내가 실행한 충돌 실험은 물체의 견고한 정도에 상관없이 항상 동일한 결론에 도달했다. 운동량의 합이 충돌 전후에 똑같다는 것은 물체의 강도와 무관하게 항상 성립하는 법칙이다. 물렁한 물체들끼리 충돌하면 탄성력에 따라 이전되는 운동량이 달라질 뿐, 운동량의 합이 보존된다는 사실에는 변함이 없다. 하위헌스와 렌은 단단한 물체가 충돌하면 충돌 직전과 거의 같은 속도로 튕겨나간다고 했는데, 이 사실은 물체의 탄성력이 완벽할 때 더욱 분명하게 드러난다. 탄성력이 불완전한 물체들이 충돌 후에 속도가 느려지는 것은 물체가 발휘할 수 있는 탄성력에 한계가 있기 때문이다(단 충돌 후 물체가 부서지거나 망치로 때린 것처럼 납작해지면 탄성력을 한계치까지 발휘하지 못한다). 이런 물체들이 충돌하면 충돌 직전과 직후의 속도가 특정한 비율로 변한다. 나는 양털을 단단하게 뭉친 공으로 진자를 만들어서 이 사실을 확인했다. 특정 높이에서 떨어진 진자가 다른 진자와 충돌한 후 튀어 올라간 높이를 측정하여 탄성력을 계산하고, 이 값을 근거로 다른 진자들이 튀어 올라가는 높이를 이론적으로 예측할 수 있었는데, 모든 계산은 실험 결과와 거의 정확하게 일치했다. 양털 공의 경우, 충돌 직전과 충돌 직후의 상대 속도 비율은 항상 9:5였으며, 쇠로 만든 진자는 충돌 전후의 속도가 거의 같았다. 또한 코르크로 만든 진자는 충돌 후에 속도가 아주 조금 줄어들었고, 유리 공은 충돌 전후의 속도 비율이 16:15로 나타났다. 충돌과 반발의 경우에도 제3법칙이 성립한다는 사실이 실험으로 입증된 것이다.

물체들 사이에 인력이 작용하는 경우, 운동의 제3법칙은 다음과 같이 증명할 수 있다. 두 물체 A, B가 서로 상대방을 잡아당기고 있는데, 이들 사이에 장애물이 가로막고 있어서 더 이상 가까이 다가가지 못한다고 가정해보자. A가 B를 잡아당기는 힘보다 B가 A를 잡아당기는 힘이 더 크다면, A가 장애물을 미는 힘이 B가 장애물을 미는 힘보다 더 강해서 평형 상태를 유지할 수 없다. 즉 두 물체와 장애물로 이루어진 물리계 전체가 A에서 B를 향하는 방향으로 힘을 받아 그쪽으로 가속 운동을 하게 된다. 그렇다면 우리 주변을 포함한 우주 공간에는 이런 식으로 가속 운동을 하는 물체들로 가득 차 있을 것이고, 둘 사이의 인력이 사라지지 않는 한 가속 운동은 영원히 계속될 것이다. 물론 현실 세계에서 이런 일은 절대로 일어나지 않는다. 운동의 제1법칙에 의하면 모든 물체는 외력이 작용하지 않는 한 정지 상태를 유지하거나 등속 직선 운동을 해야 한다. 그러므로 내력(internal force)⁽³²⁾에 의해 가속된다는 것은 명백한 오류이다. 인력을 행사하는 두 물체는 중간에 있는 장애물을 똑같은 힘으로 밀어서 평형 상태를 유지해야 한다. 즉 작용과 반작용은 크기가 같다. 나는 자석과 쇳조각을 이용하여 이 사실을 확인한 바 있다. 물이 담긴 2개의 그릇을 맞대어놓고 각 그릇에 조그만 자석과 쇳조각을 뿌려놓았더니, 어느 한쪽이 다른 쪽을 일방적으로 잡아당기는 경우는 단 한 번도 관측되지 않았다. 이들은 서로 상대방을 같은 힘으로 잡아당기다가 어느 정도 시간이 지나면 더 이상 움직이지 않는 평형 상태에 도달했다.

지구의 내부에 작용하는 중력도 이와 동일한 원리에서 평형 상태를 유지하고 있다. 지구(FI)를 선분 EG라는 평면으로 잘라서 EGF 구획과 EGI 구획으로 분할했을 때, EGF가 EGI를 당기는 힘(중력)과 EGI가 EGF를 당기는 힘은 정확하게 같다. 왜 그럴까? 그 이유는 다음과 같다. 일단 두 구획 중 큰 부분을 HK라는 평면으로 또 잘라서 EGKH와 HKI 두 부분으로 나눠보자. 단 HKI는 EGF와 크기가 같다. 그러면 중간에 있는 EGKH는 어느 쪽으로도 치우치지 않고 평형 상태를 유지할 것이다. HKI의 모든 무게는 EGKH에 고스란히 전해져서 반대편에 있는 EGF에게도 똑같은 힘을 가한다. 또한 HKI와 EGKH를 더한 EGI가 EGF에 가하는 힘은 HKI의 무게와 같으며, 이 값은 EGF의 무게와 같다. 그러므로 EGI가 그림에서 왼쪽으로 가하는 힘과 EGF가 오른쪽으로 가하는 힘은 크기가 같다. 이것이 바로 내가 증명하고자 했던 결과이다. 이 두 힘이 같지 않다면 지구는 운동을 방해하는 요인이 없는 우주 공간에서 큰 힘이 작용하는 쪽으로 영원히 가속될 것이다.

충돌하는 두 물체는 서로 똑같은 크기의 힘을 주고받으며, 충돌 후의 속도는 이들이 갖고 있는 고유의 힘(관성력)에 반비례한다.⁽³³⁾ 이것은 일상적으로 사용되는 모든 기계 장치에 똑같이 적용되는 법칙이다. 어떤 장치이건 움직이는 부품의 속도(힘이 작용하는 방향의 속도)는 고유의 힘에 반비례하고, 2개의 부품이 힘을 교환할 때 각 부품의 운동량은 똑같은 양만큼 변한다. 예를 들어 대저울⁽³⁴⁾의 한쪽 끝에 물체를 매달고 추를 평형 지점으로 옮겼을 때 가로대가 위아래로 진동하는 속도는 물체의 무게에 반비례한다. 즉 평형 지점에서 물체(또는 추)까지의 거리가 물체(또는 추)의 무게에 반비례하도록 추를 이동시키면 추와 물체가 가로대를 위아래로 움직이는 힘이 똑같아지면서 전체적으로 평형을 이룬다. 경사면이나 다른 요인에 의해 물체가 비스듬한 방향으로 오르내리는 경우에는 속도의 수직 방향 성분이 물체의 무게에 반비례한다. 중력은 항상 수직 방향으로 작용하기 때문이다. 도르래의 원리도 이와 비슷하다. 여러 개의 도르래로 이루어진 권양기를 작동시킬 때, 수직 방향으로 줄을 잡아당기는 힘과 도르래에 걸린 하중(들어올리고자 하는 물체의 무게)의 비율이 물체의 수직 방향 속도와 줄을 손으로 잡아당기는 속도의 비율과 같으면 권양기는 평형 상태를 유지한다.⁽³⁵⁾ 물체를 비스듬한 방향으로 들어올리는 경우도 마찬가지다. 시계처럼 여러 개의 기어로 이루어진 기계도 기어를 회전시키는 힘과 회전을 방해하는 힘이 각자의 회전 속도에 반비례하면 평형 상태가 유지된다. 벽에 나사못을 박을 때, 나사가 벽을 누르는 힘과 나사를 돌리는 힘의 비율은 나사의 회전 속도와 나사가 벽 속으로 파고 들어가는 속도의 비율과 같다. 또한 갈라진 나무 틈새로 쐐기를 박을 때, 쐐기가 나무 틈새를 옆으로 벌리는 힘과 망치로 쐐기를 박는 힘의 비율은 쐐기가 나무 속으로 파고드는 속도와 틈새가 쐐기에 수직한 방향으로 벌어지는 속도의 비율과 같다. 이런 관계는 모든 기계에 똑같이 적용된다.

일반적으로 속도가 줄어들면 힘이 강해지고, 속도가 빠르면 힘이 약해진다. 대부분의 기계 장치는 이 원리를 이용하여 힘든 일을 쉽게 수행할 수 있도록 설계되었다. 옮겨야 할 무게와 동원할 수 있는 힘이 주어지거나 극복해야 할 저항력이 주어지면, 기계의 구조에 따라 작동 방법이 결정된다. 구동 부품과 저항 물체의 속도 비율이 그들이 발휘하는 힘의 역비율⁽³⁶⁾과 같으면 구동력과 저항력이 평형을 이루고, 구동 부품의 속도가 더 빠르면 저항을 이기고 소기의 목적을 달성하게 된다. 물론 속도가 아주 빠르면 모든 저항을 극복할 수 있다. 저항은 접촉 상태에 있는 물체들 사이의 마찰이나 결합력(붙은 물체를 떼어내려 할 때), 또는 물체를 들어올릴 때 나타난다. 이 모든 저항을 극복하고도 힘이 남으면, 기계의 일부(또는 전부)와 저항하는 물체의 일부(또는 전부)는 남은 힘에 비례하여 가속 운동을 하게 된다.

기계의 작동 원리를 자세히 설명하는 것은 이 책의 목적과 다소 거리가 있다. 다만, 운동의 제3법칙이 항상 성립한다는 사실을 강조하기 위해 다양한 사례를 언급한 것뿐이다. 어떤 도구를 사용하건 동력의 힘과 속도로부터 계산된 작용과 저항체의 힘과 속도(마찰, 결합력, 무게, 가속도 등에서 비롯됨)로부터 계산된 반작용은 항상 크기가 같고 방향이 반대이다.

여러 개의 양(quantity) 또는 이들 사이의 비율이 임의의 유한한 시간 동안 연속적으로 변하면서 같은 값으로 접근한다고 하자. 주어진 시간이 끝나기 전에 이들 사이의 차이가 임의로 잡은 어떤 값보다도 작으면, 이들은 결국 같아진다.

만일 그렇지 않다면 이들은 최종적으로 각기 다른 값에 도달하게 된다. 그 차이를 D라고 하자. 그러면 이들의 차이는 어떤 시점에도 D보다 작아질 수 없고, 이것은 위의 가정에 위배된다.

직선 Aa와 AE, 그리고 곡선 acE로 에워싸인 도형 AacE가 주어져 있다. 여기에 길이가 모두 같은 AB, BC, CD, …를 밑변으로 삼아 평행사변형 Ab, Bc, Cd, …를 작도하면(단 이들의 세로변 Bb, Cc, Dd, …는 Aa와 평행하며, 평행사변형의 개수에는 아무런 제한이 없다) 작은 평행사변형 aKbl, bLcm, cMdn, …이 완성된다. 이들의 가로(폭)를 점점 줄여가면서 개수를 무한정 늘이면 곡선 도형(원래의 도형)에 내접하는 도형 AKbLcMdD와 외접하는 도형 AalbmcndoE, 그리고 원래 도형 AabcdE는 면적이 같아진다.

내접하는 도형과 외접하는 도형의 면적은 작은 평행사변형 Kl, Lm, Mn, Do의 면적을 더한 값만큼 차이가 난다. 모든 평행사변형은 밑변의 길이가 같다고 했으므로, 작은 평행사변형의 면적을 더한 값은 밑변이 Kb이고 높이가 Aa인 직사각형 ABla의 면적과 같다(한 곳에 쌓았다고 생각하면 된다). 그런데 밑변 AB의 길이를 무한정 짧게 줄여나가면 ABla의 면적은 임의로 잡은 어떤 값보다 작아질 수 있다. 그러므로 (보조정리 1에 의해) 외접한 도형과 내접한 도형의 면적은 궁극적으로 같아지고, 이들의 중간값인 원래 도형의 면적도 같아진다. [Q.E.D.]⁽³⁷⁾

평행사변형의 밑변 AB, BC, CD, …가 같지 않아도, 이들이 한없이 작아지면 내접 도형과 외접 도형, 그리고 곡선 도형의 면적은 궁극적으로 같아진다.

밑변 중 가장 긴 것을 AF라 하자. 그러면 평행사변형 FAaf의 면적은 내접하는 도형과 외접하는 도형의 면적 차이보다 크다. 그런데 AF가 무한정 작아지면 FAaf의 면적은 임의로 잡은 어떤 값보다 작아진다. [Q.E.D.]

그러므로 무한히 작은 평행사변형의 면적을 모두 더한 값은 원래 도형의 면적과 같다.

무한히 짧은 호 ab, bc, cd, …에 대응하는 현을 그었을 때, 이들을 윗변으로 갖는 사각형(사다리꼴)의 면적의 합은 궁극적으로 원래 도형의 면적과 같다.

무한히 짧은 호 ab, bc, cd, …의 접선을 윗변으로 갖는 사각형의 면적의 합도 궁극적으로 원래 도형의 면적과 같다.

그러므로 위에 언급한 현들은 궁극적으로 직선이 아니며, 곡선 acE에 무한정 가까워진다.

2개의 도형 AacE와 PprT의 내부를 (다음의 경우와 같이) 같은 개수의 내접하는 평행사변형으로 가득 채웠다고 하자. 이들의 폭을 무한정 줄여나간다고 했을 때, 첫 번째 도형의 평행사변형과 두 번째 도형에서 이에 대응되는 평행사변형의 최종 면적이 모든 평행사변형에 대하여 동일하다면, AacE와 PprT는 면적이 같다.

두 도형에서 서로 대응하는 평행사변형의 면적이 모두 같으면 평행사변형의 면적을 모두 더한 값도 폭이 좁아질수록 같은 값에 수렴한다. 그런데 보조정리 3에 의해 AacE의 면적은 내부에 있는 평행사변형의 면적의 합과 같고 PprT의 면적도 그 내부에 있는 평행사변형의 면적의 합과 같으므로, 결국 AacE와 PprT의 면적은 같아진다. [Q.E.D.]

종류 불문하고 임의의 두 양을 같은 개수로 무한정 작게 세분했을 때, 각 대응 구획 사이의 비율(첫 번째 구획끼리의 비율과 두 번째 구획끼리의 비율… 등)이 모두 같으면 두 양의 전체 비율도 이 비율과 같다. 왜 그런가? 두 양을 <그림 1-3>처럼 대응 비율이 모두 같은 평행사변형으로 세분했을 때, 세분된 양의 합의 비율은 평행사변형의 합의 비율과 같으므로 세분된 양과 평행사변형의 개수가 무수히 많고 크기가 무한정 작아져도, 세분된 양의 합의 비율은 여전히 평행사변형의 합의 비율과 같다. 따라서 (가정에 의해) 두 양의 비율은 각 대응 구획 사이의 비율과 같다.

임의로 주어진 매끄러운 호(곡률이 연속적으로 변하는 호) ACB와 이에 대응되는 현 AB가 있다. 현의 한쪽 끝 A에서 호에 접하는 직선을 AD라 하자. AD는 양쪽으로 길게 뻗어 있다. 이 상태에서 A와 B가 호를 따라 서로 가까워지다가 한 점에서 만나면, 현과 접선의 사잇각 BAD는 무한정 작아지다가 결국 0으로 사라진다.

A와 B가 무한정 가까이 접근해도 ∠BAD가 0이 되지 않는다는 것은 호 ACB와 접선 AD가 A에서 유한한 각도를 형성한다는 뜻이다. 그런데 이는 곧 A 근방에서 곡률이 연속적이지 않다는 뜻이므로 가정에 위배된다. 그러므로 A와 B가 무한정 가까이 접근하면 ∠BAD는 0이 되어야 한다.

위와 같은 가정에서 호와 현, 그리고 접선의 길이는 궁극적으로 같아진다.

B가 A를 향해 접근하는 동안 AB와 AD를 연장한 선 위에 b와 d를 잡아서, B가 어느 위치에 있건 bd와 BD가 항상 평행하도록 유지하고, 호 ACB와 닮은꼴인 호 Acb를 그려보자. 점 A와 B가 하나로 합쳐지면 ∠dAb는 0으로 사라지고(보조정리 6 참조), 유한한 직선 Ab와 Ad가 하나로 합쳐지면서 그 사이에 낀 호 Acb도 이들과 같아진다. 그런데 직선 AB와 AD, 그리고 이들 사이에 낀 호 ACB는 각각 Ab, Ad, Acb와 항상 비례 관계에 있으므로 결국은 이들의 길이도 같아진다. [Q.E.D.]

B에서 A의 접선 AD에 평행하게 그은 선이 A를 지나는 임의의 직선과 만나는 점을 F라 하면, BF는 호 ACB와 동일한 비율로 짧아지다가 0으로 사라진다. 왜냐하면 평행사변형 AFDB에서 BF는 AD와 길이가 같기 때문이다.

A를 지나는 또 다른 직선 AF와 AG, 그리고 B를 지나는 또 다른 직선 BE, BD가 있고, BF가 접선 AD와 평행하면 (A와 B가 무한정 가까워질 때) AD, AE, BF, BG, 그리고 호 ACB와 현 AB의 길이는 궁극적으로 같아진다.

그러므로 이들의 최종 비율을 논할 때는 어떤 것을 사용해도 상관없다.

직선 AR과 BR, 호 ACB와 현 AB, 그리고 접선 AD를 조합하면 3개의 삼각형 RAB, RACB, RAD가 만들어진다.⁽³⁸⁾ 여기서 A와 B가 가까워지면 3개의 삼각형은 점점 작아지면서 닮은꼴 도형에 접근하다가, A와 B가 한 점에서 만날 때 닮음비는 1:1이 된다(즉 3개의 삼각형이 완전히 같아진다).

B가 A를 향해 접근하는 동안 직선 RD와 평행한 선이 AB, AD, AR의 연장선과 만나는 점을 각각 b, d, r이라 하고, 호 Acb는 B가 어느 위치에 있건 간에 항상 호 ACB와 닮은꼴을 유지한다고 하자. 이런 조건에서 A와 B가 만나면 ∠bAd는 0으로 사라지고, 크기가 유한한 3개의 삼각형 rAb, rAcb, rAd는 완전히 같아진다. 그런데 삼각형 RAB, RACB, RAD는 각각 rAb, rAcb, rAd와 닮은꼴이므로, 이들도 결국 동일한 삼각형으로 수렴한다. [Q.E.D.]

그러므로 이 삼각형들의 최종 비율을 논할 때는 어떤 것을 사용해도 상관없다.

직선 AE와 곡선 ABC가 특정 각도를 이루며 A에서 만나고, AE 선상에서 출발한 직선 BD와 CE가 각각 B, C에서 곡선 ABC와 만난다고 하자. 이제 B와 C가 곡선 위에서 동시에 A를 향해 무한정 가까이 접근하면, 삼각형 ABD와 ACE의 면적 비율은 대응변 길이의 제곱 비율과 같다.⁽³⁹⁾

B와 C가 A에 접근하는 동안 직선 AD를 e까지 연장하여 Ad와 Ae가 AD와 AE에 비례하도록 만들어보자. 그리고 d와 e에서 DB와 EC에 평행하도록 그은 직선이 AB, AC의 연장선과 만나는 점을 각각 b, c라 하자. 곡선 Abc는 ABC와 닮은꼴이며, A에서 이 두 곡선에 동시에 접하는 접선 Ag는 DB, EC, db, ec와 각각 F, G, f, g에서 만난다. Ae의 길이를 일정하게 유지한 상태에서 B, C가 A에 접근하면 ∠cAg는 0에 가까워지고, 곡선을 포함한 도형 Abd와 Ace의 면적은 각각 직선 도형 Afd, Age와 같아진다. 그러므로 이들의 면적 비율은 (보조정리 5에 의해) Ad와 Ae의 제곱 비율과 같다. 그런데 ABD와 ACE의 면적은 각각 Abe와 Ace의 면적에 비례하므로, 이들의 면적 비율은 AD와 AE의 제곱 비율과 같다. [Q.E.D.]

물체가 힘을 받아 움직이기 시작하면 그 힘이 일정하건, 또는 점차 증가하건 감소하건 상관없이 운동 초기에 이동한 거리는 시간의 제곱에 비례한다.

<그림 1-7>에서 AD와 AE가 시간을 나타내고, DB와 EC를 그 시간에 물체가 얻은 속도라 하자. 그러면 이 속도로 물체가 이동한 거리는 각각 ABD, ACE의 면적과 같다. 그러므로 운동 초기에 물체가 움직인 거리는 (보조정리 9에 의해) 시간 AD와 AE의 제곱 비율과 같다. [Q.E.D.]

2개의 물체가 이동한 시간을 닮은꼴 도형의 대응변에 각각 대응시키면, 두 물체에 똑같은 힘이 가해졌을 때 닮은꼴 도형상에서 이들이 “진행한 거리”와 “힘이 작용하지 않았을 때 진행한 거리”의 차이는 힘이 작용한 시간의 제곱에 거의 정확하게 비례한다.

닮은꼴 도형의 대응 부위에 비례하는 힘을 가했을 때, 이동 거리의 차이는 힘에 시간의 제곱을 곱한 양에 비례한다.

물체에 어떤 종류의 힘이 가해지건 이동 거리는 이 관계를 만족한다. 즉 운동이 막 시작되었을 때 물체가 이동한 거리는 힘에 시간의 제곱을 곱한 양에 비례한다.

그러므로 힘은 물체가 움직이기 시작했을 때 이동 거리에 비례하고, 시간의 제곱에 반비례한다.

따라서 시간의 제곱은 이동 거리에 비례하고 힘에 반비례한다.

2개의 양 A, B를 비교할 때 “A가 B에 비례한다”는 것은 A와 B가 동일한 비율로 증가(또는 감소)한다는 뜻이며, “A가 B에 반비례한다”는 것은 A가 B의 증가율의 역수와 같은 비율로 증가(또는 감소)한다는 뜻이다. 그리고 A가 2개 이상의 양(B, C, D…)에 비례한다는 것은 A의 변화율⁽⁴⁰⁾이 B, C, D…의 변화율의 곱과 같다는 뜻이며, 반비례한다는 것은 A의 변화율이 B, C, D…의 변화율의 역수의 곱과 같다는 뜻이다. 예를 들어 A가 B와 C에 비례하고 D에 반비례한다면, A의 변화율은 B×C×1/D이다. 즉 A와 BC/D는 변화율이 같다.

<그림 1-8>에서 AB는 주어진 호, AD는 접선, BD는 접촉각(∠BAD)을 마주 보면서 접선에 수직한 선, 그리고 직선 AB는 호 AB에 대응하는 현이다. 현 AB에 수직한 선(BG)과 A에서 접선 AD에 수직하도록 그린 선(AG)이 만나는 점을 G라 하자. D, B, G는 각각 d, b, g를 향해 접근하고 있다. D와 B가 d, b를 지나 A에 무한정 가까워졌을 때, BG와 AG가 궁극적으로 만나는 점을 J라 하자. 그러면 GJ의 길이는 임의로 잡은 어떤 값보다 작아질 수 있다. 그리고 A, B, G를 포함하는 원과 A, b, g를 포함하는 원의 기하학적 성질에 의해 AB²은 AG×BD와 같고, Ab²은 Ag×bd와 같다.⁽⁴³⁾ 즉, AB²과 Ab²의 비율은 AG×BD와 Ag×bd의 비율과 같다. 그런데 GJ는 임의로 잡은 어떤 값보다 작다고 했으므로 AG와 Ag의 비율은 1에 무한정 가까워지고, AB²:Ab²와 BD:bd의 차이는 임의로 잡은 어떤 값보다 작아진다. 그러므로 보조정리 1에 의해 AB²:Ab²의 궁극적인 값은 BD:bd와 같다. [Q.E.D.]

AD와 BD의 사잇각이 직각에서 벗어난 어떤 특정한 각도로 주어져도 BD와 bd의 비율은 항상 같으므로, 이 값은 AB²과 Ab²의 비율과 같다. [Q.E.D.]

∠D가 특정 값으로 주어지지 않은 경우에도 직선 BD가 어떤 하나의 점으로 수렴하거나 다른 조건에 의해 결정되고, D와 d(동일한 규칙에 따라 결정된 점들)가 점점 가까워지면서 둘 사이의 거리가 임의로 잡은 값보다 작아진다면, 보조정리 1에 의해 BD와 bd의 최종 비율은 AB²과 Ab²의 비율과 같아진다. [Q.E.D.]

그러므로 접선 AD와 Ad, 호 AB와 Ab, 그리고 이들의 사인(sine)에 해당하는 BC와 bc는 최종적으로 각각 현 AB, Ab와 같고, 이들의 제곱(AB²과 Ab²)은 각각 BD, bd와 같다.

위에서 언급한 접선과 호, 그리고 sin(BC, bc)의 제곱은 현을 양분하면서 한 점으로 수렴하는 호의 버사인(versine)⁽⁴⁴⁾에 비례한다. 왜냐하면 이 버사인은 현 BD와 bd에 비례하기 때문이다.^(45)(46)

그러므로 어떤 물체가 주어진 속도로 호를 그리며 움직일 때, 시간의 제곱은 버사인에 비례한다.

삼각형 ADB와 Adb의 면적 비율은 AD×DB와 Ad×db의 비율과 같으므로, B와 D가 A에 무한정 가까워지면 이들의 면적 비율은 AD³과 Ad³의 비율과 같아지고, 이는 또 DB³/²와 db³/²의 비율과 같아진다. 또한 삼각형 ABC와 Abc의 면적 비율은 BC³과 bc³의 비율과 같다.

DB와 db는 궁극적으로 평행하면서 둘 사이의 비율은 AD²과 Ad²의 비율과 같으므로, 곡선을 포함한 도형 ADB와 Adb의 면적은 (포물선의 특성에 의해) 각각 삼각형 ADB와 Adb의 2/3가 되고, 활꼴 AB와 Ab⁽⁴⁷⁾의 면적은 각각 삼각형 ADB와 Adb의 1/3이 된다. 그러므로 두 활꼴의 면적 비율은 접선 AD와 ad의 세제곱 비율과 같고, 현 (또는 호) AB와 Ab의 세제곱 비율과도 같다.

앞에서 우리는 곡선과 접선 사이의 접촉각이 원과 접선의 접촉각보다 무한히 크거나 작다고 가정하지 않았다. 이는 곧 점 A에서 곡선의 곡률이 무한히 크거나 작지 않다는 뜻이며, AJ의 길이가 유한하다는 뜻이기도 하다. DB가 AD³에 비례하면, 점 A를 지나면서 접선 AD와 곡선 AB 사이에 낀 원호를 그릴 수 없다. 즉 접선 AD와 곡선 AB 사이의 접촉각이 원과 접선의 접촉각보다 무한히 작아질 수 있다는 뜻이다. 그리고 이와 비슷한 논리에 의해, DB가 AD⁴ 또는 AD⁵, AD⁶, AD⁷, …등에 비례하면 접촉각은 지수가 클수록 더욱 작아진다(예를 들어 AD⁴에 비례하는 경우의 접촉각은 AD⁵에 비례하는 경우보다 무한히 작다). 또한 DB가 AD² 또는 AD³/², AD⁴/³, AD⁵/⁴, AD⁶/⁵, AD⁷/⁶, …등에 비례하도록 만들면 첫 번째 접촉각은 원의 접촉각과 같고, 두 번째는 이보다 무한히 크고, 세 번째, 네 번째…는 바로 전의 경우보다 무한히 크다. 이뿐만이 아니다. 위에 열거한 일련의 비례 인자들 중 임의로 2개를 골랐을 때, 그들 사이에도 무수히 많은 접촉각이 존재하며, 이들 중 하나의 접촉각은 그다음에 나오는 접촉각보다 무한히 작을 수 있다(또는 무한히 클 수도 있다). 예를 들어 AD²과 AD³ 사이에는 AD¹³/⁶, AD¹¹/⁵, AD⁹/⁴, AD⁷/³, AD⁵/², AD⁸/³, AD¹¹/⁴, AD¹⁴/⁵, AD¹⁷/⁶, … 등을 끼워 넣을 수 있으며, 이들 중 임의로 잡은 2개 사이에도 전후 사이에 무한대의 차이가 나는 접촉각이 무수히 많이 존재한다. 자연에는 한계가 없다.

곡선의 길이, 또는 평면 도형의 면적과 관련된 위의 증명은 휘어진 곡면이나 입체 도형에도 똑같이 적용된다. 고대의 기하학자들은 귀류법(reductio ad absurdum)⁽⁴⁸⁾을 이용하여 이 사실을 증명했지만, 위에 열거한 보조정리를 이용하면 번거로운 과정을 생략할 수 있다. 무한소(indivisible)⁽⁴⁹⁾의 개념을 도입하면 증명이 훨씬 간단해진다. 그러나 무한소는 기하학의 범위를 넘어선 개념이어서 아직 제대로 정립되지 않았기 때문에, 앞으로 다루게 될 증명은 무한히 작아지는 양의 최종 합과 비율, 그리고 처음 생성된 양의 초기 합과 비율을 다루는 방식으로 풀어나갈 것이다. 다시 말해서, 합과 비율의 극한을 이용하여 증명을 간소화하겠다는 뜻이다. 물론 무한소를 이용해도 동일한 결론이 내려진다. 우리는 앞에서 이와 관련된 보조정리를 여러 개 증명했으므로, 어떤 경우에도 안심하고 사용할 수 있다. 앞으로 작은 요소로 이루어진 양을 다루거나 직선 대신 아주 짧은 곡선을 다룰 때는 무한소 대신 “아주 작지만 쪼갤 수 있는 양”을 사용할 것이다. 이럴 때 독자들은 정해진 합과 비율 대신 “합과 비율의 극한”을 떠올려주기 바란다.

혹자는 “0으로 사라지는 양들 사이에 궁극적 비율이란 존재할 수 없다”고 생각할지도 모른다. 0에 도달하기 전에 취한 비율은 궁극적인 비율이 아니고, 0에 도달하면 비율 자체가 존재하지 않기 때문이다. 그러나 이런 식으로 따지면 특정 속도로 움직이던 물체가 특정 위치에서 멈췄을 때도 최종 속도는 존재할 수 없게 된다. 종착지에 도달하기 전의 속도는 최종 속도가 아니고, 종착지에 도달하여 멈추면 속도는 더 이상 존재하지 않기 때문이다.⁽⁵⁰⁾ 이 문제를 어떻게 해결해야 할까? 다행히도 간단한 해결책이 있다. 움직이는 물체의 최종 속도란 목적지에 도달하기 전의 속도나 도달한 후의 속도가 아니라, 목적지에 도달하여 운동을 멈추는 바로 그 순간의 속도를 의미한다. 이와 마찬가지로 무한정 작아지는 양의 비율은 이들이 0으로 사라지기 전이나 사라진 후의 비율이 아니라, 0으로 사라지는 바로 그 순간의 비율이다. 이와 반대로 새로 생성되는 양의 비율은 생성되기 시작하는 순간의 비율로 이해하면 된다. 그리고 최초 합이나 최종 합은 이들이 처음 생성되거나 사라질 때(또는 증가하기 시작하거나 감소하기 시작할 때)의 비율을 의미한다. 물체가 움직일 때, 특정 속도에 가까이 접근할 수는 있지만 결코 넘을 수 없는 경우가 있다. 이것이 바로 한계 속도(또는 최종 속도)이다. 새로 생겨나거나 사라지는 양과 이들 사이의 비율에도 한계가 존재할 수 있다. 이 한계값을 결정하는 것은 기하학의 문제이기 때문에, 기하학적인 방법으로 풀어야 한다.

0으로 사라지는 양들의 궁극적인 비율을 알 수 있다면, 궁극적인 값도 구할 수 있지 않을까? 만일 그렇다면 모든 양은 더 이상 쪼갤 수 없는 최소 단위로 이루어져 있어야 하는데, 이것은 유클리드(Euclid)가 “잴 수 없는 양(incommensurable)”과 관련하여 《원론(Elements)》 제10권에서 제시한 증명에 위배된다. 그러나 이 반론은 틀린 가정에 기초하고 있다. 0으로 사라지는 양들 사이의 최종 비율은 최종적으로 도달한 값의 비율이 아니라(즉 0:0이 아니라) 0에 가까워지는 와중에 이들 사이의 비율이 접근하는 극한값을 의미한다. 이 극한값과 “극한으로 가고 있는” 현재 비율 사이의 차이는 임의로 잡은 어떤 값보다 작아질 수 있다. 그러나 비교 대상인 두 양이 무한히 작아지기 전에는 절대로 극한값에 도달할 수 없으며, 그 값을 넘어설 수도 없다. 무한히 큰 양을 생각하면 상황이 좀더 분명해진다. 차이가 고정되어 있는 2개의 양이 무한히 커진다면, 이들 사이의 최종 비율은 무조건 1:1이다. 그러나 최종 비율을 알고 있다고 해서 이들이 도달하게 될 최종 값까지 알 수 있는 것은 아니다. 앞으로 이 책에서는 독자들의 편의를 위해 “무한히 작다”거나 “0으로 사라진다”거나 “궁극적인 값”이라는 표현을 종종 사용하게 될 텐데, 이런 단어가 등장할 때마다 값이 정해진 작은 양을 떠올리지 말고, 특정 값에 무한정 가까워지는 양을 떠올려주기 바란다.

고정된 점을 중심으로 궤도 운동을 할 때, 물체의 반지름(물체와 중심 사이의 거리)이 쓸고 지나간 면은 고정된 평면에 놓여 있으며, 그 면적은 시간에 비례한다.

시간을 여러 개의 똑같은 구간으로 나눠서, 처음 한 구간 동안은 구심력이 작용하지 않고 물체는 원래 작용하던 고유의 힘에 의해 직선 AB를 따라 이동했다고 하자. 두 번째 구간에서 기존의 운동을 방해하는 요인이 없다면 이 물체는 (운동의 제1법칙에 의해) 직선 궤적을 따라 c로 이동할 것이고, 시간 간격이 같으므로 AB와 Bc는 길이가 같을 것이다. 따라서 중심 S와 A, S와 B, S와 c를 각각 직선으로 이었을 때 삼각형 ASB와 BSc는 면적이 같다. 그런데 물체가 B에 도달했을 때 구심력이 순간적으로 강하게 작용하면 물체의 궤적이 Bc를 벗어나 다른 방향(그림에서 BC 방향)을 향하게 된다. c에서 BS와 평행한 선을 그어서 이 방향과 만나는 점을 C라 하자. 시간의 두 번째 구간이 다 흐르면 물체는 (운동의 부가법칙 1에 의해) 삼각형 ASB와 같은 평면에 놓인 C에 도달하게 된다. 이제 S와 C를 직선으로 연결하면 삼각형 SBC와 SBc, 그리고 SAB는 면적이 같다. 이와 비슷하게 C, D, E, F, …에서도 똑같은 구심력이 순간적으로 강하게 작용했다면 물체는 동일 평면상에 있는 직선 SD, DE, EF, …를 따라 이동할 것이다. 그리고 이전과 동일한 논리에 의해 △SBC=△SCD, △SCD=△SDE, 그리고 △SDE=△SEF이다. 즉 같은 시간 동안 물체가 이동한 직선 경로와 중심을 연결한 삼각형의 면적이 모두 같다. 따라서 물체가 같은 시간 동안 쓸고 지나간 면적은 모두 같으며, 이들은 모두 동일한 평면에 놓여 있다. 그리고 이 삼각형들을 더한 SABCDS나 SABCDEFS 같은 다각형의 면적은 물체가 그 영역을 쓸고 지나가는 데 걸리는 시간에 비례한다. 여기서 삼각형의 폭을 무한히 작게 줄이고 개수를 무한대로 늘리면 A에서 F로 가는 물체의 궤적은 (보조정리 3과 부가정리 4에 의해) 매끄러운 곡선이 되고, 물체를 접선 방향에서 이탈시키는 구심력은 연속적으로 작용하게 된다. 그러나 간격이 무한히 작아져도 위의 논리는 똑같이 적용되므로, SADS, SAFS 등 부채꼴의 면적은 물체가 그 면적을 쓸고 지나가는 데 걸리는 시간에 비례한다. [Q.E.D.]

저항이 없는 공간에서 고정된 중심에 의해 끌리는 물체(구심력의 영향을 받으면서 움직이는 물체)의 속도는 궤도의 접선에서 중심을 향해 그린 수직선의 길이에 반비례한다.
증명: 물체가 A, B, C, D, E를 지나는 순간의 속도는 AB, BC, CD, DE, EF의 길이에 비례하는데, 이들은 모두 면적이 같은 삼각형의 밑변에 해당한다. 그러므로 밑변(속도)이 길어지거나 짧아지면 수직선의 길이가 그만큼 짧아지나 길어져야 삼각형의 면적(밑면×높이에 비례함)이 유지된다. 즉 접선에서 수직한 방향으로 중심을 향해 그린 직선의 길이는 해당 접점에서 물체의 속도에 반비례한다.

저항이 없는 공간에서 구심력의 영향을 받는 물체가 같은 시간 동안 현 AB와 BC를 그렸을 때, 두 변을 포함하는 평행사변형 ABCV의 대각선 BV는 (시간을 무한정 잘게 쪼개서 AB와 BC가 무한정 짧아지면) 구심력의 중심점에서 B를 이은 직선과 일치한다.

저항이 없는 공간에서 같은 시간 동안 물체가 그리는 궤적의 현 AB, BC와 DE, EF로 평행사변형 ABCV와 DEFZ를 만들고, 시간 간격이 무한정 짧아지는 극한을 취하면, B와 E에서 물체에 작용하는 힘의 비율은 두 평행사변형의 대각선 BV와 EZ의 비율과 같아진다.
증명: (운동의 부가법칙 1에 의해) BC 방향 운동은 Bc 방향 운동과 BV 방향 운동의 합이고 EF 방향 운동은 Ef와 EZ의 합이다. 그런데 BV, EZ는 각각 Cc, Ff와 같고 Cc와 Ff는 각각 B와 E에 작용한 구심력에 의해 나타난 운동이므로, BV와 EZ의 비율은 구심력의 비율과 같다.

저항이 없는 공간에서 물체가 휘어진 궤도를 그리도록 잡아당기는 힘은 일정한 시간 동안 물체가 그리는 호의 버사인에 비례한다. 이 버사인은 시간 간격을 무한히 작게 분할했을 때 힘의 중심을 향하며, 부가정리 3에서 언급했던 대각선의 절반에 해당하므로 호에 대응되는 현을 이등분한다.

그러므로 이 힘과 중력의 비율은 호의 버사인과 “같은 시간 동안 물체가 그리는 포물선 호에서 중력에 수직한 버사인”의 비율과 같다.

운동의 부가법칙 5에 의해, 위에 열거한 모든 정리는 ‘물체의 운동이 일어나는 평면과 힘의 중심’이 고정되어 있지 않고 등속 직선 운동을 하는 경우에도 똑같이 성립한다.

물체가 직선이 아닌 곡선 궤적을 그리는 것은 (운동의 제1법칙에 의해) 어떤 형태로든 힘이 작용했기 때문이다. 고정된 점 S를 중심으로 일정한 시간(아주 짧은 시간) 동안 삼각형 SAB, SBC, SCD, …를 그린다면, 물체가 B에 있을 때 작용하는 힘은 (유클리드의 《원론》 제1권의 40번째 명제와 이 책에 수록된 운동의 제2법칙에 의해) cC에 평행한 방향, 즉 BS 방향으로 작용한다. 그리고 이와 동일한 논리에 의해 물체가 C에 있을 때 힘은 dD와 평행한 SC 방향으로 작용하고, D에 있을 때에는 eE와 평행한 SD 방향으로 작용하고… 기타 등등이다. 그러므로 물체에 작용하는 힘은 항상 중심을 향하는 구심력이다. [Q.E.D.]

(운동의 부가법칙 5에 의해) 물체의 곡선 궤적과 중심 S를 포함하는 평면이 정지 상태에 있거나 등속 직선 운동을 하는 경우에도 위의 명제/정리는 똑같이 성립한다.

저항이 없는 공간이나 매체(medium) 속에서 물체가 쓸고 지나간 면적이 시간에 비례하지 않으면, 물체에 작용하는 힘은 중심을 향하지 않는다. 면적이 점점 증가하는 경우에 힘이 작용하는 방향은 물체가 진행하는 쪽으로 기울어지고, 면적이 점점 감소하는 경우에는 그 반대쪽으로 기울어진다.

저항이 있는 공간에서도 같은 시간 동안 물체가 쓸고 지나가는 면적이 점점 증가하면, 힘이 작용하는 방향은 중심을 향하지 않고 물체가 진행하는 쪽으로 기울어진다.

여러 개의 힘이 동시에 작용하는 경우에도 이들의 합이 모든 반지름이 만나는 중심을 향하면 물체에 구심력을 행사할 수 있다. 위에 제시한 정리는 “물체에 작용하는 모든 힘을 더한 결과가 하나의 중심 S를 향할 때” 그렇다는 뜻이다. 만일 어떤 힘이 운동 평면(물체의 궤적을 포함하는 평면)에 수직한 방향으로 작용하면 물체는 평면을 벗어나게 되지만, 물체가 쓸고 지나간 면적에는 아무런 영향도 미치지 않기 때문에 무시해도 상관없다.

여러 물체로 이루어진 물리계에서 첫 번째 물체와 두 번째 물체의 중심을 직선으로 연결했을 때, 첫 번째 물체가 움직인 궤적과 이 직선(반지름)으로 만든 부채꼴 모양의 면적이 시간에 비례하면, 첫 번째 물체는 두 번째 물체가 자신에게 행사하는 구심력과 다른 물체들이 행사하는 힘을 복합적으로 받는다.

첫 번째 물체를 L, 두 번째 물체를 T라 하자. 이 두 물체에 T가 받는 힘과 크기가 같고 방향이 반대인 힘을 동시에 가하면 (운동의 부가법칙 6에 의해) L은 여전히 일정한 면적 속도⁽⁵¹⁾로 T의 주변을 선회하고, T는 힘이 완전히 상쇄되어 (운동의 제1법칙에 의해) 정지 상태에 있거나 등속 직선 운동을 하게 된다. 그리고 L은 두 힘의 차이(즉 남은 힘)에 의해 T를 중심으로 부채꼴 면적이 시간에 비례하는 운동을 계속한다. 그러므로 힘의 차이는 (정리 2에 의해) 두 번째 물체 T의 중심을 향한다. [Q.E.D.]

그러므로 물체 L과 T를 연결하는 반지름의 면적 속도가 시간에 비례하면, L이 받는 힘(하나의 힘이건 운동의 부가법칙 2를 통해 합성된 힘이건 상관없다)에서 T가 받는 힘을 뺀 차이는 (운동의 부가법칙 2에 의해) T의 중심을 향한다.

이 면적이 시간에 거의 비례하면, 남은 힘은 거의 T가 있는 방향으로 작용한다.

역으로, 남은 힘이 거의 T를 향하면 L의 반지름이 쓸고 지나간 면적은 시간에 거의 비례한다.

T가 한자리에 정지해 있거나 등속 직선 운동을 할 때, T와 L을 이은 반지름이 T를 중심으로 일정 시간 동안 쓸고 지나간 면적이 시간대에 따라 큰 차이가 난다면, T로 향하는 구심력이 아예 존재하지 않거나 다른 강한 힘들과 더해져서 제 역할을 하지 못하는 경우이다. 이런 경우에 모든 힘을 더한 최종 힘은 T가 아닌 다른 중심을 향하며, 그 중심은 정지 상태일 수도 있고 움직일 수도 있다. T에 작용하는 모든 힘을 제거하여 T를 중심으로 하는 구심력이 얻어진다면, T가 움직이는 경우에도 동일한 결론을 내릴 수 있다.

물체가 일정한 면적 속도로 움직인다는 것은 구심력의 영향으로 직선 궤적을 벗어나 궤도 운동을 한다는 뜻이다. 그러므로 면적 속도가 일정한 물체는 자유 공간(저항이 없는 공간)에서 특정한 점을 중심으로 궤도 운동을 한다고 생각해도 무방하다.

여러 개의 물체가 각기 크기가 다른 원을 따라 균일한 속도로 움직이고 있을 때, 이들에게 작용하는 구심력은 원의 중심을 향하며, 구심력의 크기는 일정한 시간 동안 물체가 그리는 원호의 길이의 제곱을 반지름으로 나눈 값에 비례한다.

이 힘은 명제/정리 2와 명제/정리 1의 부가정리 1에 의해 원의 중심을 향하고, 여러 힘들 사이의 비율은 명제/정리 1의 부가정리 1에 의해 무한히 짧은 시간 동안 그리는 호의 버사인의 비율과 같다. 또는 (보조정리 7에 의해) 호의 길이의 제곱을 지름으로 나눈 값에 비례한다. 그런데 호는 물체가 일정한 시간 동안 그린 궤적이고 지름은 반지름에 비례하므로, 중심을 향한 구심력의 크기는 일정한 시간 동안 물체가 그린 호의 길이의 제곱을 반지름으로 나눈 값에 비례한다. [Q.E.D.]

물체가 그린 호의 길이는 물체의 속도에 비례하므로, 구심력은 속도의 제곱에 비례하고 반지름에 반비례한다.

물체가 원을 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간, 즉 주기는 반지름에 비례하고 속도에 반비례하므로, 구심력은 반지름을 주기의 제곱으로 나눈 값에 비례한다.

그러므로 각기 다른 원운동을 하는 두 물체의 주기가 같으면 반지름과 속도의 비율이 서로 같고, 두 구심력의 비율은 반지름의 비율과 같다. 그리고 이 부가정리의 역도 성립한다.⁽⁵²⁾

원운동을 하는 두 물체의 속도의 비율이 반지름의 제곱근의 비율과 같으면, 두 물체에 작용하는 구심력이 같다. 또한 두 물체의 주기의 비율이 반지름의 제곱근의 비율과 같아도 구심력이 같다. 그리고 역도 성립한다.

원운동을 하는 두 물체의 주기의 비율이 반지름의 비율과 같으면 두 물체의 속도가 같고, 구심력의 비율은 반지름의 역비율과 같다. 그리고 역도 성립한다.

원운동을 하는 두 물체의 주기의 비율이 반지름의 3/2 제곱의 비율과 같으면 속도의 비율은 반지름의 제곱근의 역비율과 같고, 구심력의 비율은 반지름의 제곱의 역비율과 같다. 그리고 역도 성립한다.

일반적으로 원운동을 하는 두 물체의 주기의 비율이 (반지름을 R이라고 했을 때) Rⁿ의 비율과 같으면, 속도의 비율은 Rⁿ⁻¹의 역비율과 같고 구심력의 비율은 R²ⁿ⁻¹의 역비율과 같다. 그리고 역도 성립한다.

여러 물체가 (원이 아닌) 닮은꼴 도형의 중심 주변에서 닮은 부분을 동시에 지나갈 때도 균일한 속도를 균일한 면적 속도로 대치하고 반지름을 중심과 물체 사이의 거리로 대치하면 시간(주기)과 속도, 그리고 힘과 관련된 위의 모든 정리는 똑같이 성립한다.

비슷한 논리로 다음의 사실도 쉽게 증명할 수 있다. 임의의 물체가 구심력의 영향을 받아 균일한 속도로 원운동을 하고 있을 때, 특정 시간 동안 지나간 원호의 길이는 같은 시간 동안 물체가 “(원운동을 하지 않고) 구심력에 의해 떨어지는 거리”와 “원운동의 지름”의 기하 평균과 같다.⁽⁵³⁾

밤하늘의 천체들은 부가정리 6을 만족한다(렌과 훅, 그리고 핼리는 이 사실을 각자 독립적으로 증명했다). 그래서 우리도 구심력 사이의 비율이 반지름(운동의 중심과 천체 사이의 거리)의 제곱의 역비율과 같은 경우를 자세히 살펴보기로 한다.⁽⁵⁴⁾ 전술한 명제/정리와 부가정리를 이용하면 중력처럼 이미 알려진 힘과 구심력의 비율을 알아낼 수 있다. 달과 같은 천체가 지구를 중심으로 원운동을 할 때, 구심력 역할을 하는 것은 중력밖에 없기 때문이다. 또한 명제/정의 4의 부가정리 9를 이용하면 무거운 물체가 궤도를 따라 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간(주기)과, 주어진 시간 동안 물체가 그리는 호의 길이를 알 수 있다. 하위헌스는 그의 명저인 《시계추에 대한 연구(De Horologio Oscillatorio)》에서 공전하는 천체의 중력과 구심력을 비교해놓았다.

명제/정리 4는 다음과 같은 방식으로 증명할 수도 있다. 주어진 원 속에 임의의 다각형을 내접시키고, 한 물체가 다각형의 변을 따라서 등속으로 이동하다가 원주와 만날 때마다 반사된다고 가정해보자. 이런 경우 물체가 원주에 가하는 힘은 물체의 속도에 비례하므로, 주어진 시간 동안 원주에 가해진 힘의 합은 속도에 반사 횟수를 곱한 값에 비례한다. 즉 (다각형의 변과 각도가 결정되면) 힘의 합은 주어진 시간 동안 물체가 진행한 거리에 비례하고, 진행 거리와 반지름의 비율에 따라 커지거나 작아진다(다시 말해서, 진행 거리의 제곱을 반지름으로 나눈 값에 비례한다). 여기서 다각형의 한 변의 길이가 한없이 짧아지면 다각형은 원과 일치하고, 주어진 시간 동안 힘의 합은 물체가 그린 호의 길이의 제곱을 반지름으로 나눈 값에 비례하게 된다. 이것이 바로 물체가 원주에 가하는 원심력이며, 물체를 끊임없이 중심 쪽으로 밀어내는 힘(구심력)은 원심력과 크기가 같고 방향이 반대이다.

타원 궤도를 도는 물체에서 구심력이 타원의 초점을 향해 작용할 때, 구심력이 만족하는 비례식을 구하라.

임의의 순간 물체의 위치를 P, 타원의 초점을 S, H라 했을 때, SP가 타원의 지름 DK⁽⁵⁵⁾와 만나는 점을 E라 하고 세로 좌표 Qv와 만나는 점을 x라 하자. 그러면 QxPR은 평행사변형이 된다. 장축의 절반인 AC는 EP와 길이가 같다. 왜냐하면 타원의 또 다른 초점 H에서 EC와 평행하도록 HI를 그렸을 때 (CS=CH이므로) ES와 EI의 길이가 같고, (HI와 PR은 평행하고 ∠IPR=∠HPZ이므로) EP=(PS+PI)/2 =(PS+PH)/2 = AC이기 때문이다. 이제 SP에 수직한 선 QT를 긋고, 타원의 장통경(principal latus rectum)⁽⁵⁶⁾을 L(또는 2BC²/AC)이라 하면, L×QR:L×Pv=QR:Pv=PE:PC=AC:PC이다. 그리고 L×Pv:Gv×Pv=L:Gv이며, Gv×Pv:Qv²=PC²:CD²이다. 또한 P와 Q가 무한히 가까워지면 (보조정리 7의 부가정리 2에 의해) Qv²은 Qx²과 같아지고, Qv²(또는 Qx²):QT²=EP²:PF²=(보조정리 12에 의해) CD²:CB²이 된다. 이 비례식들을 정리하면 L×QR:QT²=AC×L×PC²×CD²:PC×Gv×CD²×CB²=2PC:Gv를 얻는다. 그런데 P와 Q가 일치하면 2PC와 Gv가 같으므로, 이들과 비례 관계에 있는 L×QR과 QT²도 서로 같아진다. 양변에 SP²/QR을 곱하면 L×SP² = SP²×QT²/QR 이 되므로, (명제 6의 부가정리 1과 5에 의해) 구심력은 L×SP²에 반비례한다. 즉 구심력이 타원의 초점을 향해 작용하는 경우, 타원 궤적을 그리는 물체의 구심력은 거리 SP의 제곱에 반비례한다. [Q.E.I.]

타원 궤도를 도는 물체에서 구심력이 타원의 중심 C를 향해 작용하면 구심력의 세기는 (명제 10의 부가정리 1에 의해) 물체와 중심 사이의 거리 CP에 비례한다. 그러므로 중심을 지나면서 접선 PR에 평행하게 그린 선과 PS가 만나는 점을 E라 했을 때, 물체 P가 기하학적 중심(C)이 아닌 다른 점을 중심으로 타원 궤도를 그리려면 구심력은 (명제 7의 부가정리 3에 의해) PE³/SP²에 비례해야 한다. 즉 S가 타원의 초점이면 PE는 주어진 값이므로 구심력은 SP²에 반비례한다. [Q.E.I.]
이 문제는 포물선이나 쌍곡선 궤적으로 확장할 수 있다. 타원이 아닌 다른 궤도에 대해서는 명제 10의 부가설명에서 간단하게 언급했는데, 이것은 매우 중요한 문제일 뿐만 아니라 이 책의 후반부에 가면 해답이 필요해지기 때문에 지금 자세히 다루기로 한다.

물체가 쌍곡선의 초점을 향하는 구심력을 받으면서 쌍곡선 궤적을 그릴 때, 구심력이 만족하는 비례식을 구하라.

물체의 위치를 P, 쌍곡선의 중심을 C, 반축(semiaxis)⁽⁵⁷⁾을 CA, CB라 하고 또 다른 켤레 지름을 PG, KD라 하자. PF는 지름 KD에 수직한 선이고, Qv는 지름 GP의 세로 좌표이다.⁽⁵⁸⁾ SP의 연장선이 지름 DK와 만나는 점을 E라 하고, 세로 좌표 Qv와 만나는 점을 x라 하면 평행사변형 QRPx가 정의된다. 또 하나의 초점 H에서 EC에 평행한 선 HI를 그으면 CS=CH로부터 ES와 EI가 같으므로 EP와 반축 AC도 길이가 같다. 따라서 EP는 PS와 PI의 차이의 절반이며, (IH와 PR이 평행하고 ∠IPR=∠HPZ이므로) PS와 PH의 차이의 절반이기도 하다. 그리고 이 차이는 축의 길이인 2AC와 같다. SP에 수직한 선 QT를 그리고 쌍곡선의 장통경을 L(또는 2BC²/AC)이라 하면 L×QR:L×Pv=QR:Pv=Px:Pv이고, (삼각형 Pxv와 PEC는 닮은꼴이므로) 이 비율은 EP:PC, 또는 AC:PC와 같다. 또한 L×Pv:Gv×Pv=L:Gv이고, (원뿔 곡선의 성질에 의해) Gv×Pv:Qv²=PC²:CD²이며, (보조정리 7의 부가정리 2에 의해) P와 Q가 한없이 가까워지면 Qv²과 Qx²은 같아진다. 따라서 Qx²(또는 Qv²):AT²=EP²:PF²이고, 이 비율은 CA²:PF²과 같으며. 보조정리 12를 적용하면 CD²:CB²과 같아진다. 지금까지 언급된 비례식을 정리하면 L×QR:QT²=AC×L×PC²×CD²:PC×Gv×CD²×CB²=2CB²×PC²×CD²:PC×Gv×CD²×CB²=2PC:Gv가 된다. 그런데 P와 Q가 무한정 가까워지면 2PC=Gv이므로 이들과 비례 관계에 있는 L×QR과 QT²도 같아진다. 양변에 SP²/QR을 곱하면 L×SP² = SP²×QT²/QR 이 되어(명제 6의 부가정리 1과 5에 의해) 구심력은 L×SP²에 반비례하고, 결국은 물체와 초점 사이 거리의 제곱에 반비례한다. [Q.E.I.]

쌍곡선 궤적을 그리는 물체의 구심력이 쌍곡선의 중심 C를 향할 때, 구심력의 크기는 물체와 중심 사이의 거리 CP에 비례하므로, (명제 7의 부가정리 3에 의해) 초점 S를 향하는 구심력은 PE³/SP²에 비례해야 한다. 그런데 PE는 주어진 값이므로 구심력은 SP의 제곱에 반비례한다. [Q.E.I.]
이와 비슷한 논리를 펼치면 구심력이 원심력으로 대치되었을 때 물체가 맞은편 쌍곡선을 따라 움직인다는 것을 어렵지 않게 증명할 수 있다.⁽⁵⁹⁾

포물선의 꼭짓점을 포함하는 통경은 꼭짓점과 초점 사이 거리의 4배이다.
이것은 원뿔 곡선의 특성으로부터 쉽게 증명할 수 있다.

포물선의 초점에서 임의의 접선에 내린 수선의 길이는 “초점과 접점 사이 거리”와 “초점과 꼭짓점 사이 거리”의 기하 평균이다.

포물선 AP의 초점을 S, 꼭짓점을 A, 접점을 P라 하자. PO는 지름에 대한 P 점의 세로 좌표이고, M은 P에서의 접선과 지름이 만나는 점이며, SN은 초점에서 접선에 내린 수선이다. 그러면 MS=SP, MN=NP, MA=AO이므로 AN과 OP는 평행하고, 삼각형 SAN은 각 A가 직각인 직각삼각형으로 삼각형 SNM, SNP와 닮은꼴이다. 그러므로 SP와 SN 사이의 비율은 SN과 SA의 비율과 같고, 따라서 SN=√SP×SA이다. [Q.E.I.]

SP²과 SN²의 비율은 SP와 SA의 비율과 같다.

SA는 주어진 값이므로, SN²은 SP에 비례한다.

포물선의 초점 S에서 임의의 접선 PM에 내린 수선의 발을 N이라 했을 때, 포물선의 꼭짓점에 접하는 선도 이 접선과 N에서 교차한다.

포물선 궤적을 그리는 물체의 구심력이 포물선의 초점을 향할 때, 구심력이 만족하는 비례식을 구하라.

<그림 3-4>처럼 물체 P가 포물선 궤적을 그린다고 하자. 시간이 조금 지나면 P는 Q로 이동한다. QR은 Q에서 출발하여 SP와 평행한 선이고, QT는 SP에 수직한 선이다. 삼각형 Pvx와 SPM은 닮은꼴이고 SM과 SP는 길이가 같으므로, Px, QR, Pv도 길이가 같다. 그런데 원뿔 곡선의 성질에 의해 세로 좌표 Qv의 제곱은 통경과 Pv로 이루어진 직사각형의 면적과 같고, (보조정리 13에 의해) 이 값은 4PS×Pv, 또는 4PS×QR과 같다. 여기서 P와 Q가 한없이 가까워지면 (보조정리 7의 부가정리 2에 의해) Qv=Qx이므로, Qx²=4PS×QR이 된다. 또한 삼각형 QxT와 SPN이 닮은꼴이므로 Qx²:QT²=PS²:SN²이고, (보조정리 14의 부가정리 1에 의해) 이 비율은 PS:SA, 또는 4PS×QR:4SA×QR과 같다. 따라서 (유클리드의 《원론》 제5권의 명제 9에 의해) QT²=4SA×QR이다. 양변에 SP²/QR을 곱하면 SP²×QT²/QR=SP²×4SA가 되고, (명제 6의 부가정리 1과 5에 의해) 구심력은 SP²×4SA에 반비례한다. 그런데 4SA는 이미 주어진 값이므로 결국 구심력은 초점과 물체 사이 거리(SP)의 제곱에 반비례한다. [Q.E.I.]

앞에 제시된 명제 11~13으로부터 다음과 같은 결론이 유도된다. P 점에서 출발하여 임의의 속도로 직선 PR을 따라가는 물체에 고정된 지점으로부터 거리의 제곱에 반비례하는 구심력이 작용하면 그 물체는 원뿔 곡선 중 하나를 따라가고, 구심력의 중심은 해당 원뿔 곡선의 초점과 일치한다. 역으로, 임의의 물체가 원뿔 곡선의 초점에서 작용하는 구심력의 영향을 받아 원뿔 곡선 중 하나를 그리면, 구심력의 크기는 해당 원뿔 곡선의 초점과 물체 사이 거리의 제곱에 반비례한다. 초점과 접점, 그리고 접선이 주어지면 접점에서 원뿔 곡선의 곡률이 결정되고, 물체의 속도와 구심력이 주어져도 곡률이 결정된다. 그러나 2개의 궤도가 서로 접하면 같은 구심력과 같은 속도로 서술할 수 없다.

물체가 P 점을 지날 때 아주 짧은 시간 동안 직선 PR을 따라 움직이고, 같은 시간 동안 구심력에 의해 직선 궤적에서 QR만큼 벗어났다면, 이 물체가 그리는 원뿔 곡선의 장통경은 PR과 QR이 무한정 작아지는 극한에서 QT²/QR로 수렴한다. 부가정리 1, 2에서 나는 원을 타원의 일종으로 간주하였으며, 물체가 구심력의 중심을 향하여 똑바로 나아가는 경우는 고려하지 않았다.

여러 개의 물체가 하나의 점을 구심점(구심력이 작용하는 점)으로 삼아 각기 다른 궤도 운동을 하고 있다. 각 물체에 작용하는 구심력이 구심점과 물체 사이 거리의 제곱에 반비례하면, 장통경은 같은 시간 동안 물체의 반지름이 쓸고 지나간 면적의 제곱에 비례한다.

(명제 13의 부가정리 2에 의해) 통경 L은 P와 Q가 무한정 가까워지는 극한에서 QT²/QR로 수렴한다. 그러나 무한히 짧은 직선 QR은 주어진 시간 동안 구심력에 비례하므로 (가정에 의해) SP²에 반비례한다. 따라서 QT²/QR은 QT²×SP²에 비례한다. 즉 통경 L은 주어진 시간 동안 물체의 반지름이 쓸고 지나간 면적의 제곱에 해당하는 (QT×SP)²에 비례한다. [Q.E.I.]

타원의 총면적과 장-단축으로 이루어진 직사각형의 면적(이들은 서로 비례한다)은 통경의 제곱근에 주기를 곱한 값에 비례한다. 주어진 시간 동안 물체가 쓸고 지나간 면적 QT×SP에 주기를 곱한 값은 타원의 총면적과 비례 관계에 있기 때문이다.

명제 14와 같은 가정하에서 주기의 제곱은 장축의 세제곱에 비례한다.

타원의 단축은 장축과 통경의 기하 평균이므로 장축과 단축의 곱은 통경의 제곱근에 장축의 ³⁄₂ 제곱을 곱한 값과 같고, (명제 14의 부가정리에 의해) 통경의 제곱근과 주기를 곱한 값에 비례한다. 이 비례식의 양변을 통경의 제곱근으로 나누면 주기의 제곱은 장축의 세제곱에 비례한다. [Q.E.I.]

그러므로 타원 궤도를 도는 물체의 주기는 장축과 동일한 지름의 원 궤도를 도는 물체의 주기와 같다.

명제 15와 같은 가정하에, 물체가 있는 곳(P)에서 궤도에 접하는 접선을 긋고 초점에서 이 접선에 수선을 내리면, 물체의 속도는 수선의 길이에 반비례하고 장통경의 제곱근에 비례한다.

초점 S에서 접선 PR에 내린 수선의 발을 Y라 하면, 물체 P의 속도는 √(SY²/L)의 제곱근에 반비례한다. 이 속도는 호 PQ가 무한히 짧은 극한에서 계산된 순간 속도이기 때문에 (보조정리 7에 의해) 선분 PR에 비례하고, (PR:QT=SP:SY이므로) SP×QT/SY에 비례한다. 즉 SP×QT에 비례하고 SY에 반비례한다. 그런데 SP×QT는 주어진 시간 동안 물체가 쓸고 지나간 면적에 해당하므로, 결국 속도는 (명제 14에 의해) 통경의 제곱근에 비례한다. [Q.E.I.]

장통경은 초점에서 접선에 내린 수직선 길이의 제곱과 속도의 제곱에 비례한다.

물체와 초점 사이의 거리가 가장 멀 때와 가까울 때, 물체의 속도는 초점과의 거리에 반비례하고 장통경의 제곱근에 비례한다. 가장 멀 때와 가장 가까울 때는 “초점에서 접선에 내린 수선”과 “물체와 초점 사이 거리”가 같기 때문이다.

그러므로 물체가 원뿔 곡선 궤적을 그릴 때, “초점으로부터 가장 먼 곳과 가장 가까운 곳에서의 속도”와 “그 거리를 반지름으로 한 원 운동을 할 때의 속도” 사이의 비율은 “통경의 제곱근”과 “물체와 초점 사이 거리의 2배” 사이의 비율과 같다.

타원 궤도를 도는 물체가 초점으로부터 평균 거리⁽⁶⁰⁾에 있을 때의 속도는 이 거리를 반지름으로 하는 원 궤도를 돌 때의 속도와 같으며, (명제/정리 4의 보조정리 6에 의해) 거리의 제곱근에 반비례한다. 이 지점에서는 초점에서 접선에 내린 수선의 길이가 단축의 절반과 같은데, 이 값은 거리와 통경의 기하 평균에 해당한다. 위의 비례 관계에 역수를 취한 후 통경의 제곱근 사이의 비율을 곱하면 “속도는 거리의 제곱근에 반비례한다”는 결과가 얻어진다.

궤도의 형태가 달라도 통경이 같으면, 물체의 속도는 초점에서 접선에 내린 수직선의 길이에 반비례한다.

포물선 궤도를 그리는 물체의 속도는 초점과 물체 사이 거리의 제곱근에 반비례한다. 타원의 경우에는 속도가 이보다 빠르게 변하고, 쌍곡선에서는 더 느리게 변한다. (보조정리 14의 부가정리 2에 의해) 초점에서 접선에 내린 수선의 길이가 물체와 초점 사이 거리의 제곱근에 비례하기 때문이다. 쌍곡선에서는 수직선의 길이가 이보다 느리게 변하고, 타원에서는 더 빠르게 변한다.

“포물선 궤도를 그리는 물체가 초점으로부터 임의의 거리에 있을 때의 속도”와 “그 거리를 반지름으로 갖는 원 궤도를 돌 때의 속도”의 비율은 √2:1이다. 타원 궤도를 돌 때는 비율이 이보다 작고, 쌍곡선의 경우에는 비율이 더 크다. 본 명제의 부가정리 2에 의하면 포물선 꼭짓점에서의 속도가 이 부가정리를 만족하고, (본 명제의 부가정리 6과 명제 4의 부가정리 6에 의해) 포물선의 모든 거리에서 이 비율이 유지된다. 그러므로 포물선 궤도를 그리는 물체의 속도는 초점과의 거리에 상관없이 “그 거리의 절반을 반지름으로 삼아 원운동을 하는 물체의 속도”와 같다. 타원 궤도를 돌 때에는 속도가 이보다 느리고, 쌍곡선의 경우에는 더 빠르다.

“임의의 원뿔 곡선을 그리는 물체의 속도”와 “해당 곡선의 장통경의 절반을 반지름으로 삼아 원운동을 하는 물체의 속도”의 비율은 이 “반지름”과 “초점에서 접선에 내린 수선의 길이”의 비율과 같다. 이것은 본 명제의 부가정리 5로부터 자연스럽게 유도되는 결과이다.

그러므로 (명제 4의 부가정리 6에 의해) “위와 같은 원 궤도를 도는 물체의 속도”와 “임의의 다른 원 궤도를 도는 물체의 속도” 사이의 비율은 거리의 제곱근에 반비례한다. 따라서 원뿔 곡선을 그리는 물체의 속도와, 그와 동일한 거리에서 원운동을 하는 물체의 속도 사이의 비율은 “그 거리와 장통경의 절반의 기하 평균”과 “초점에서 접선에 내린 수선의 길이” 사이의 비율과 같다.

중심에서 물체까지 거리의 제곱에 반비례하는 구심력의 크기를 알고 있을 때, 주어진 위치에서 주어진 속도와 방향으로 나아가는 물체의 향후 궤적을 구하라.

S를 향해 작용하는 구심력에 의해 물체 p가 궤도 pq를 따라가고, p 점에서의 속도를 알고 있다고 하자. 그리고 (구심력이 없었다면) P 점에서 직선 PR을 따라갔을 물체가 구심력에 의해 PQ라는 원뿔 곡선을 그린다고 하자. 그러면 PR은 P 점에서 궤도에 접하는 접선이 된다. 이와 비슷하게, p 점에서 궤도 pq에 접하는 직선을 pr이라 하고, S에서 이들 두 접선에 내린 수직선을 “수선”이라 칭하자. 그러면 두 원뿔 곡선의 장통경 사이의 비율은 (명제 16의 부가정리 1에 의해) 수선 길이의 제곱의 비율에 속도의 제곱의 비율을 곱한 값과 같으므로, 이로부터 장통경을 구할 수 있다. 원뿔 곡선의 통경을 L이라 하고, 초점 S의 위치는 문제에서 주어졌다고 하자. ∠RPH가 ∠RPS의 보각이 되도록(즉 ∠RPH+∠RPS=180°가 되도록) H를 잡으면 H는 또 하나의 초점 H가 된다. S에서 PH에 내린 수선의 발을 K라 하고, 단축의 절반을 BC라 하자. 그러면 SP²-2KP×PH+PH²=SH²=4CH²=4BH²-4BC²=(SP+PH)²-L×(SP+PH)=SP²+2SP×PH+PH²-L×(SP+PH)가 된다. 양변에 2KP×PH-SP²-PH²+L×(SP+PH)를 더하면 L×(SP+PH)=2SP×PH+2KP×PH가 되어 SP+PH:PH=2SP+2KP:L이라는 비례식이 얻어지고, 이로부터 PH의 위치와 길이가 결정된다. 특히 물체 P의 속도가 느려서 통경 L이 2SP+2KP보다 짧으면 PH는 접선 PR에 대하여 SP와 같은 쪽에 위치하므로 물체의 궤적은 S와 H를 초점으로 하고 장축의 길이가 SP+PH인 타원이 된다. 반면에 물체의 속도가 이보다 빨라서 L=2(SP+KP)이면 PH는 무한대가 되고, 물체의 궤적은 축 SH가 PK에 평행한 포물선이 된다. 또한 P 점에서의 속도가 이보다 더 빠르면 PH는 접선 PR의 반대편 쪽으로 이동하여 접선이 두 초점 사이를 지나는 쌍곡선이 되고, 주축(principal axis)⁽⁶¹⁾의 길이는 SP와 PH의 차이와 같아진다. 이로써 물체가 원뿔 곡선을 그리면 구심력이 물체 P와 초점 S 사이 거리의 제곱에 반비례한다는 명제 11, 12, 13이 재확인되었다. 물체가 P 점을 지날 때의 속도와 방향(PR)이 주어지면 거리의 제곱에 반비례하는 구심력에 의해 향후 물체가 그리는 궤적 PQ를 알 수 있다. [Q.E.F]⁽⁶²⁾

그러므로 원뿔 곡선의 꼭짓점 D와 통경 L, 그리고 초점 S가 주어지면 비례식 DH:DS=L:4DS-L로부터 두 번째 초점 H를 알 수 있다. SP+PH:PH=2SP+2KP:L인데, 지금의 경우는 DS+DH:DH=4SD:L이므로 DS:DH=4DS-L:L이기 때문이다.

그러므로 꼭짓점 D에서 물체의 속도가 주어졌을 때, (명제 16의 부가정리 3에 의해) L:2DS=“주어진 속도의 제곱”:“반지름이 DS인 원운동을 하는 물체의 속도의 제곱”이라는 비례식과 DH:DS=L:4DS-L을 이용하면 물체의 궤도를 알아낼 수 있다.

원뿔 곡선 궤적을 그리던 물체가 외부로부터 힘을 받아 궤도에서 이탈한 경우에도 향후의 궤적을 구할 수 있다. 원래의 운동에 외부에서 작용한 힘이 낳은 운동을 더하면, 외력이 작용한 시점에 물체의 속도와 방향을 알 수 있기 때문이다.

외력이 한순간만 작용하지 않고 계속적으로 작용하는 경우에도 물체의 궤적을 거의 정확하게 구할 수 있다. 특정 지점들에서 힘의 변화가 운동에 미치는 영향을 계산하고, 그 중간 단계에서 일어나는 연속적 변화를 순차적으로 계산해나가면 된다.

물체 P가 R을 중심으로 한 구심력을 받으면서 중점이 C인 원뿔 곡선을 그릴 때, 구심력은 다음과 같이 구할 수 있다. 반지름 RP에 평행한 선 CG가 P에서의 접선 PG와 만나는 점을 G라 하면, 구심력은 (명제 10의 부가정리 1과 부가설명, 그리고 명제 7의 부가정리 3에 의해) CG³/RP²에 비례한다.

타원(또는 쌍곡선)의 두 초점을 S, H라 하자. 임의의 점 V에서 S와 H를 직선으로 이어서 SV, HV를 작도했는데, 이들 중 HV가 주축과 길이가 같다고 하자. SV의 중점을 지나는 수직 이등분선이 HV와 만나는 점을 R이라 하면, TR은 반드시 타원(또는 쌍곡선)에 접한다. 역으로, TR이 타원(또는 쌍곡선)에 접하면 HV는 주축과 길이가 같다.

수직 이등분선 TR이 HV와 만나는 점 R과 S를 이어서 직선 SR을 작도한다(필요하다면 선을 연장하라). TS와 TV는 길이가 같으므로 SR과 VR도 길이가 같고, ∠TRS와 ∠TRV도 같다. 그러므로 R은 타원(또는 쌍곡선) 위의 한 점이며, 수직 이등분선 TR은 R에서 타원(또는 쌍곡선)에 접한다(물론 역도 성립한다). [Q.E.D.]

초점 1개와 주축이 주어졌을 때, 또 하나의 주어진 점과 또 하나의 주어진 직선에 접하는 원뿔 곡선(타원과 쌍곡선)을 작도하라.

주어진 초점을 S라 하고 주축의 길이를 AB라 하자. 그리고 우리가 구하려는 원뿔 곡선은 점 P를 지나면서 TR에 접한다고 하자. 타원을 구할 때는 P를 중심으로 AB-SP를 반지름으로 하는 원 HG를 그리고, 쌍곡선을 구할 때는 P를 중심으로 AB+SP를 반지름으로 하는 원 HG를 그린다. 또한 접선 TR에 수직한 선 ST를 연장하여 TV=ST가 되도록 V를 잡고, V를 중심으로 반지름이 AB인 원 FH를 그린다. 이렇게 하면 “두 점 P와 p가 주어진 경우”나 “2개의 접선 TR과 tr이 주어진 경우”, 또는 “점 P와 접선 TR이 주어진 경우”에 2개의 원을 그릴 수 있다. 두 원이 만나는 점을 H라 했을 때, S와 H를 초점으로 가지면서 주어진 주축에 대응되는 타원(또는 쌍곡선)이 우리가 구하고자 하는 원뿔 곡선이다. 왜냐하면 이 원뿔 곡선은 (타원의 경우에 PH+SP가 축의 길이와 같고, 쌍곡선의 경우에는 PH-SP가 축의 길이와 같으므로) 점 P를 지나고, (보조정리 15에 의해) 직선 TR에 접하기 때문이다. 그리고 이와 동일한 논리에 의해, 우리가 구한 타원(또는 쌍곡선)은 두 점 P와 p를 지나거나, 두 직선 TR과 tr에 접한다. [Q.E.F.]

초점 1개가 정해졌을 때, 주어진 점을 지나고 주어진 직선에 접하는 포물선을 작도하라.

초점을 S, 주어진 점을 P, 주어진 접선을 TR이라 하자. P를 중심으로 반지름이 PS인 원 FG를 그린다. 초점 S에서 접선 TR에 수직한 선 ST를 그리고, 이를 V까지 연장하여 TV와 ST가 같도록 만든다. 이 방법대로 하면 또 다른 점 p가 주어졌을 때 다른 원 fg를 그릴 수 있고, 다른 접선 tr이 주어졌을 때 tv=St인 v를 찾을 수 있다. 이제 직선 IF를 그리되 두 점 P, p가 주어진 경우에는 IF가 FG와 fg에 접하도록 그리고, 두 접선 TR과 tr이 주어진 경우에는 V와 v를 지나도록 그리고, 한 점 P와 접선 TR이 주어진 경우에는 원 FG에 접하면서 V를 지나도록 그린다. 이제 S를 지나면서 FI에 수직한 선을 SI를 긋고 그 중점을 K라 하면, SK를 축으로 하면서 K를 꼭짓점으로 갖는 포물선이 바로 우리가 찾는 포물선이다. 이 포물선은 (SK=IK이고 SP=FP이므로) 문제에서 주어진 점 P를 지나고, (보조정리 14의 부가정리 3에 의해) ST와 TV가 같고 ∠STR이 직각이므로 직선 TR에 접한다. [Q.E.F.]

하나의 초점 S가 주어졌을 때, 두 점 B와 C를 지나는 원뿔 곡선을 그려보자.

원뿔 곡선의 종류가 정해져 있다는 것은 주축의 길이와 두 초점 사이 거리의 비율이 정해져 있다는 뜻이다. KB와 BS의 비율, 그리고 LC와 CS의 비율이 이 비율과 같아지도록 K와 L을 잡는다. B와 C를 중심으로 반지름이 각각 BK, CL인 원을 그리고, 직선 KL에 수직한 선 SG를 길게 연장하여 GA와 AS의 비율과 Ga와 aS의 비율, 그리고 KB와 BS의 비율이 같아지도록(즉 GA:AS=Ga:aS=KB:BS가 되도록) A와 a를 잡는다. 그러면 Aa를 축으로 하고 A와 a를 꼭짓점으로 하는 원뿔 곡선이 바로 우리가 구하려던 곡선이다.

이유: 다른 하나의 초점을 H라 하자. GA와 AS의 비율은 Ga와 aS의 비율과 같으므로, Ga-GA(Aa)와 aS-AS(SH)의 비율은 GA와 AS의 비율과 같고,⁽⁶³⁾ 이 값은 “주축의 길이”와 “초점 사이 거리”의 비율과 같다. 따라서 우리가 구한 곡선은 문제에서 요구한 곡선과 일치한다. KB와 BS의 비율은 LC와 CS의 비율과 같으므로, 원뿔 곡선의 특성에 의해 우리가 구한 곡선은 B와 C를 지나간다.

하나의 초점 S가 주어졌을 때, 두 직선 TR과 tr에 접하는 원뿔 곡선을 그려보자.

S에서 두 접선 TR과 tr에 수직한 직선 ST와 St를 그리고, 이들을 연장하여 TS=TV인 지점을 V, tS=tv인 지점을 v라 하자. Vv의 중점 O에서 출발하는 수직 이등분선을 그리고, VS를 길게 연장하여 VK:KS와 Vk:kS가 우리가 구하려는 원뿔 곡선의 “주축”과 “두 초점 사이 거리”의 비율과 같아지도록 K와 k를 잡는다. K를 중심으로 반지름이 Kk인 원을 그려서 Vv의 수직 이등분선과 만나는 점을 H라 하자. 그러면 S와 H를 초점으로 가지면서 주축의 길이가 VH의 길이와 같은 원뿔 곡선이 바로 우리가 구하려고 했던 곡선이다.

이유: Kk의 중점 X를 찾아서, HX, HS, HV, 그리고 Hv를 그려보자. VK:KS=Vk:kS이므로 이 비율은 (Vk+VK):(KS+kS)와 같고, (Vk-VK):(kS-KS)와도 같다. 즉 2VX:2KX=2KX:2SX이다. 그러므로 VX:HX=HX:SX가 되어 삼각형 VHX와 HXS는 닮은꼴이며, 따라서 VH:SH=VX:XH이고, 이 비율은 VK:KS와 같다. 우리가 그린 원뿔 곡선의 “주축 VH”와 “초점 사이의 거리 SH”의 비율이 문제에서 요구했던 원뿔 곡선의 “주축”과 “초점 사이 거리”의 비율과 같으므로, 두 곡선은 같은 곡선이다. 또한 VH와 vH는 주축과 길이가 같고 VS와 vS의 수직 이등분선은 각각 TR과 tr이므로, (보조정리 15에 의해) 우리가 그린 원뿔 곡선은 TR과 tr에 접한다. [Q.E.F.]

하나의 초점 S가 주어졌을 때, “주어진 다른 점 R을 지나는 직선 TR”에 접하는 원뿔 곡선을 그려보자.

TR에 수직한 직선 ST를 연장하여 ST=TV인 점을 V라 하고, V와 R을 직선으로 연결한다. 그리고 직선 VS를 오른쪽으로 연장하여 VK:SK와 Vk:Sk가 문제에서 요구한 원뿔 곡선의 “주축의 길이:두 초점 사이의 거리”와 같아지도록 K와 k를 잡는다. 이제 Kk를 지름으로 하는 원을 그려서 VR의 연장선과 만나는 점을 H라 하면, S와 H를 초점으로 가지면서 주축의 길이가 VH의 길이와 같은 원뿔 곡선이 바로 우리가 그리려던 곡선이다.

이유: 사례 2에서 증명한 대로 VH:SH=VK:SK이고, 이 비율은 문제에서 요구한 원뿔 곡선의 “주축의 길이:두 초점 사이의 거리”와 같다. 그러므로 우리가 그린 원뿔 곡선은 문제에서 요구한 곡선과 동일하며, 직선 TR은 ∠VRS를 이등분하므로 R에서 원뿔 곡선에 접한다. [Q.E.F.]

초점 S가 주어졌을 때, 직선 TR에 접하고 TR 위에 있지 않은 점 P를 지나면서 “주축 ab와 두 초점 s, h로 이루어진 원뿔 곡선과 닮은꼴인” 원뿔 곡선을 그려보자.

TR에 수직한 선 ST를 연장하여 ST=TV가 되는 지점을 V라 하자. ∠hsq=∠VSP, ∠shq=∠SVP가 되도록 q를 잡는다. 그리고 r:ab=SP:PV를 만족하는 r을 반지름으로 삼아 q를 중심으로 원을 그려서, 곡선 apb와 만나는 점을 p라 하자. sp를 직선으로 연결하고, SH:sh=SP:sp, ∠PSH=∠psh, ∠VSH=∠psq가 되도록 AB 위의 한 점 H를 잡는다. 그러면 S와 H를 초점으로 하고 AB(=VH)를 주축으로 하는 원뿔 곡선이 바로 우리가 구하려는 곡선이다.

이유: sv:sp=sh:sq이고 ∠vsp=∠hsq, ∠vsh=∠psq이면 삼각형 svh와 spq는 닮은꼴이므로 vh:pq=sh:sq이며, 이 비율은 (삼각형 VSP와 hsq는 닮은꼴이므로) VS:SP, 또는 ab:pq와 같다. 그러므로 vh=ab이다. 또한 삼각형 VSH와 vsh가 닮은꼴이어서 VH:SH=vh:sh이므로, 우리가 그린 원뿔 곡선에서 “축의 길이”와 “두 초점 사이의 거리”의 비율은 ab와 sh의 비율과 같다. 그러므로 우리가 그린 원뿔 곡선은 apb와 닮은꼴이며, (삼각형 PSH와 psh가 닮은꼴이므로) 점 P를 지난다. 그리고 VH는 축의 길이와 같고 VS는 TR에 의해 수직 이등분되므로, 우리가 그린 곡선은 TR에 접한다. [Q.E.F.]

주어진 세 점을 A, B, C라 하고, 찾아야 할 네 번째 점을 Z라 하자. 직선 AZ와 BZ의 차이가 주어졌으므로 Z는 “초점이 A, B이고 주축의 길이가 AZ와 BZ의 차이와 같은 쌍곡선” 위에 놓여 있다. 이 주축을 MN이라 하자. PM:MA=MN:AB가 되도록 P를 잡고, P에서 AB에 수직한 선 PR을 긋는다. 그리고 Z에서 여기에 수직하게 그린 선을 ZR이라 하면, 쌍곡선의 특성에 의해 ZR:AZ=MN:AB가 성립한다. 그리고 이와 비슷한 논리를 펼치면 Z는 “초점이 A와 C이고 주축의 길이가 AZ와 CZ의 차이와 같은 쌍곡선” 위의 한 점이 된다. AC에 수직한 선 QS를 긋고, Z에서 QS에 내린 수선의 발을 S라 하면 ZS:AZ=|AZ-CZ|:AC이다. 즉 ZR:AZ와 ZS:AZ가 주어졌으므로 ZR:ZS도 결정되었다. 직선 RP와 SQ의 교점을 P라 하자. TZ와 TA를 그리면 도형 TRZS의 형태가 결정되고, Z가 놓여 있는 직선 TZ와 직선 TA, 그리고 삼각형 ATZ가 결정된다. 또한 AZ:ZS와 TZ:ZS가 주어졌으므로 AZ:TZ도 결정된다. 즉 우리가 찾는 점은 삼각형 ATZ의 꼭짓점이다. [Q.E.I.]

3개의 직선 중 2개(AZ와 BZ)의 길이가 같은 경우에는 AB의 이등분선 TZ를 그린 후 사례 1과 같은 방법으로 삼각형 ATZ를 결정하면 된다. [Q.E.I.]

세 직선의 길이가 모두 같은 경우에는 A, B, C를 지나는 원의 중심이 우리가 찾는 Z이다. [Q.E.I.]
이 보조정리는 아폴로니우스(Apollonius)⁽⁶⁴⁾의 수학 정리 모음을 프랑수아 비에트(François Viète)⁽⁶⁵⁾가 출간한 《접촉(Book of Tactions)》에도 증명되어 있다.

초점 1개가 주어졌을 때, 주어진 점들을 지나면서 주어진 직선들에 접하는 원뿔 곡선을 작도하라.

하나의 초점(S)과 하나의 점(P), 그리고 하나의 접선(TR)이 주어졌을 때 나머지 하나의 초점 H를 찾아보자. 접선 TR에 수직한 선 ST를 연장하여 ST=TY인 지점을 Y라 하면 YH의 길이는 주축의 길이와 같다. 그리고 S와 P, S와 H를 연결하면 SP의 길이는 “주축과 HP의 길이 차이”와 같아진다. P 외에 또 다른 점과 TR 외에 또 다른 접선이 주어진 경우에도 각 점과 접선에 대응되는 YH와 PH를 그릴 수 있다. 이들은 Y와 P에서 초점 H를 연결한 직선으로, 주축과 길이가 같거나 SP만큼 차이가 난다. 즉 YH와 PH는 길이가 같거나 길이의 차이가 결정되어 있다. 그러므로 보조정리 16에 의해 두 번째 초점 H의 위치가 결정된다. 이로써 2개의 초점과 주축의 길이(원뿔 곡선이 타원이면 주축의 길이는 YH 또는 PH+SP이며, 쌍곡선인 경우에는 PH-SP이다)가 결정되었으므로, 문제에서 요구한 원뿔 곡선을 그릴 수 있다. [Q.E.I.]

물체의 궤적이 쌍곡선인 경우, 나는 한 쌍의 곡선 중 하나만을 다루었다. 물체의 궤적이 외부 요인에 의해 갑자기 변하지 않는 한, 특정 쌍곡선을 따라가던 물체는 그 켤레 곡선으로 옮겨가지 않기 때문이다.

초점 1개와 3개의 점이 주어진 원뿔 곡선은 <그림 4-11>과 같이 쉽게 그릴 수 있다. 초점을 S라 하고, 주어진 점을 B, C, D라 하자. 직선 BC와 CD를 길게 늘여서 EB:EC=SB:SC, FC:FD=SC:SD가 되도록 E와 F를 잡는다. 직선 EF에 수직한 선 SG와 BH를 그리고, SG를 연장하여 GA:AS=Ga:aS=HB:BS가 되는 점을 a라 하자. 그러면 A는 원뿔 곡선의 꼭짓점이 되고, Aa는 주축이 된다. 곡선의 종류는 GS와 AS의 대소 관계에 따라 달라지는데 GA>AS면 타원, GA=AS면 포물선, GA<AS면 쌍곡선이다. 타원인 경우 a는 직선 GF를 기준으로 A와 같은 쪽에 놓이고, 포물선인 경우 a는 무한히 먼 곳에 위치하며, 쌍곡선인 경우 a는 GF를 기준으로 A의 반대쪽에 놓이게 된다.

이유: GF에 수직한 선 CI와 DK를 그리면 IC:HB=EC:EB=SC:SB이므로 IC:SC=HB:SB=GA:SA이다. 비슷한 논리로 KD:SD도 이 비율과 같음을 알 수 있다. 초점 S와 B, C, D를 연결한 선들(SB, SC, SD) 사이의 길이 비율이 B, C, D에서 GF에 수직하게 그린 직선들(HB, IC, KD) 사이의 길이 비율과 같으므로, B, C, D는 동일한 원뿔 곡선 위의 점들이다.

이 문제는 저명한 기하학자 필리페 드 라이르(Philippe de La Hire)⁽⁶⁶⁾의 저서 《원뿔 곡선(conics)》의 제8권 명제 25에 비슷한 방법으로 증명되어 있다.

PQ와 PR이 AC에 평행하고 PS와 PT가 AB에 평행하면서, AC와 BD가 평행한 경우⁽⁶⁷⁾를 생각해보자.

그러면 AC와 BD를 이등분하는 직선은 원뿔 곡선의 지름 중 하나가 되고, 이 지름은 RQ를 이등분한다. RQ의 중점을 O라 하면 PO는 이 지름의 세로 좌표가 된다. 그리고 PO를 연장하여 PO=OK인 지점을 K라 하면, OK는 이 지름의 반대쪽 세로 좌표에 해당한다. 따라서 점 A, B, P, K는 원뿔 곡선 위의 점들이며, PK는 AB를 특정한 각도로 자르기 때문에 직사각형 PQ×QK와 AQ×QB의 면적은 (아폴로니우스의 《접촉》 제3권 명제 17, 19, 21, 23에 의해) 특정한 비율을 갖게 된다. 그런데 QK=OK-OQ, PR=OP-OR이고 OK=OP, OQ=OR이어서 QK와 PR은 길이가 같으므로, 직사각형 PQ×QR과 AQ×QB(또는 PS×PT)의 면적 비율은 특정한 값을 갖는다.

AC와 BD가 평행하지 않은 경우를 생각해보자.

B에서 AC에 평행한 선을 그어서 ST와 만나는 점을 t, 원뿔 곡선과 만나는 점을 d라 하자. 그리고 C와 d를 이은 직선 Cd가 PQ와 만나는 점을 R이라 하고, D에서 PQ에 평행하게 그은 선이 Cd와 만나는 점을 M, AB와 만나는 점을 N이라 하자. 삼각형 BTt와 DBN은 닮은꼴이므로 Bt(또는 PQ):Tt=DN:NB이며, 따라서 Rr:AQ(또는 PS)=DM:AN이다. 두 등식에서 좌변은 좌변끼리, 우변은 우변끼리 곱하면 PQ×Rr:PS×Tt=ND×DM:AN×NB가 된다. 또한 (사례 1에 의해) PQ×Pr:PS:Pt와 PQ×PR:PS:PT도 이 비율과 같아진다. [Q.E.D.]

마지막으로, 4개의 직선 PQ, PR, PS, PT가 AC, AB와 평행하지 않고 임의의 각도로 기울어진 경우를 생각해보자.

AC에 평행한 방향으로 Pq, Pr을 긋고, AB에 평행한 방향으로 Ps, Pt를 긋는다. 그러면 삼각형 PQq, PRr, PSs, PTt의 모든 각도가 결정되므로 PQ:Pq, PR:Pr, PS:Ps, PT:Pt도 결정되고, 이 비율로부터 PQ×PR:Pq×Pr, PS×PT: Ps×Pt도 결정된다. 그런데 앞에서 완료된 증명에 의해 Pq×Pr:Ps×Pt는 주어진 값이므로, PQ×PR:PS×PT도 결정된다. [Q.E.D.]

보조정리 17과 동일한 가정하에, 내접하는 사각형의 마주 보는 두 변을 향해 점 P에서 PQ와 PR을 긋고 나머지 두 변에 PS와 PT를 그었을 때, PQ×PR과 PS×PT의 비율이 특정한 값을 가지면 P는 사각형에 외접하는 원뿔 곡선 위의 한 점이다.

원뿔 곡선에 내접하는 사각형을 ABCD라 하고, 이 원뿔 곡선 위의 한 점을 P라 하자. P의 개수는 무한히 많은데, 그중 하나인 p를 골라서 위의 정리를 증명해보자. 우리의 목적은 P가 항상 원뿔 곡선 위에 놓여 있음을 증명하는 것이다. 만일 P가 원뿔 곡선에 놓여 있지 않다면 직선 AP는 P가 아닌 다른 점에서 원뿔 곡선을 자르고 지나갈 텐데, 이 점을 b라 하자. 이제 p와 b로부터 사각형의 네 변과 특정 각을 이루도록 pq, pr, ps, pt와 bk, bn, bf, bd를 그려보자. 그러면 (보조정리 17에 의해) bk×bn:bf×bd=pq×pr:ps×pt이며, (가정에 의해) PQ×PR=PS×PT가 된다. 또한 사각형 bkAF와 PQAS는 닮은꼴이므로 bk:bf=PQ:PS이다. 이전 비례식의 각 항을 이 비례식의 항으로 나누면 bn:bd=PR:PT임을 알 수 있다. 즉 사각형 Dnbd와 DRPT는 모든 각이 같은 닮은꼴이어서 대각선 Db와 DP가 서로 일치한다. 그러므로 b는 직선 AP와 DP의 교차점이며, 이는 곧 b=P임을 의미한다. 그러므로 점 P는 주어진 원뿔 곡선 위의 한 점이다. [Q.E.D.]

점 P에서 3개의 직선 AB, CD, AC를 향해 특정 각도로 PQ, PR, PS를 그렸다고 하자. 이들 중 PQ×PR과 세 번째 직선의 제곱(PS²) 사이의 비율이 특정한 값을 가지면, 세 직선의 출발점인 P는 “A와 C에서 각각 AB와 CD에 접하는” 원뿔 곡선 위의 한 점이 되며, 그 역도 성립한다.

이유: 세 직선 AB, CD, AC를 그대로 유지한 채 BD를 AC에 아주 가깝게 이동시키고, PT를 PS에 아주 가깝게 이동시켜보자. 그러면 PS×PT=PS²이 되고, 점 A, B, C, D에서 원뿔 곡선을 자르고 지나갔던 직선 AB와 CD는 접선이 된다.

이 보조정리에서 말하는 “원뿔 곡선”이란 원뿔을 빗면과 평행한 방향으로 잘랐을 때 나타나는 포물선일 수도 있고, 밑면과 평행한 방향으로 잘랐을 때 나타나는 원일 수도 있다.

점 p가 직선 AD, 또는 BC 위에 놓여 있으면 원뿔 곡선은 2개의 직선이 된다. 이들 중 하나는 p를 포함하는 직선이고, 다른 하나는 4개의 점들 중 나머지 2개를 잇는 직선이다.

또한 사각형의 두 마주 보는 각의 합이 180°이고 4개의 직선 PQ, PR, PS, PT가 사각형의 네 변과 직각을 이루거나 모두 같은 각을 이루면서 PQ×PR=PS×PT이면, 원뿔 곡선은 원이 된다.

임의의 각도로 그린 4개의 직선을 둘씩 짝지어 만든 사각형 PQ×PR과 PS×PT의 면적 비율이 sinS(또는 sinT)와 sinQ(또는 sinR)의 비율과 같은 경우에도 원뿔 곡선은 원이 된다.

그 외의 경우 점 P의 궤적은 통상적인 원뿔 곡선(타원, 포물선, 쌍곡선) 중 하나이다. 사각형 ABCD를 “마주 보는 두 변이 대각선처럼 교차하는 도형”으로 대치해도 결과는 달라지지 않는다. 그리고 네 점 A, B, C, D 중 1개 또는 2개를 무한히 먼 곳에 잡을 수도 있는데, 이런 경우 무한히 먼 점으로 이어지는 변들은 평행선이 되고, 원뿔 곡선은 나머지 점들을 지나면서 평행선을 따라 무한히 길게 이어진다.

4개의 직선 AB, CD, AC, BD가 주어진 상황에서(즉 사각형 ABCD가 주어진 상황에서) 한 점 P에서 이 직선들과 특정 각도가 형성되도록 PQ, PR, PS, PT를 그었을 때, PQ×PR:PS×PT가 특정한 값이 되는 P를 찾아라.

PQ와 PR이 만나는 두 직선 AB와 CD가 나머지 두 직선과 만나는 점을 A, B, C, D라 하고, A와 (앞으로 찾아야 할) P를 이은 직선이 BD, CD와 만나는 점을 각각 H, I라 하자. 이 도형의 모든 각도는 이미 주어졌으므로 PQ:PA와 PA:PS도 주어져 있으며, 이로부터 PQ:PS도 알 수 있다. 또 문제에서 주어진 PQ×PR:PS×PT에서 PQ와 PS를 소거하면 PR:PT가 결정된다. 여기에 PI:PR과 PT:PH를 결합하면 PI:PH가 결정되어 점 P의 위치를 알 수 있다. [Q.E.I.]

무수히 많은 점으로 이루어진 P 점의 궤적 중 임의의 한 점 D를 지나는 접선을 그릴 수 있다. P와 D가 가까워지다가 한 점에서 만나면(즉 AH가 D를 지나면) 현 PD는 접선이 되기 때문이다. 이런 경우 IP:PH의 극한값은 위와 같은 방법으로 구할 수 있다. 그러므로 C에서 AD에 평행한 선을 그어 BD의 연장선과 만나는 점을 F라 하고, CF를 IP:PH의 극한 비율로 내분하는 점을 E라 하면, DE는 접선이 된다. 왜냐하면 CF와 (한없이 짧아지는) IH가 서로 평행하면서 E와 P에서 같은 비율로 내분되기 때문이다.

그러므로 모든 P의 궤적을 구할 수 있다. A, B, C, D 중 임의의 한 점(A라 하자)에서 P의 궤적에 접하는 AE를 긋고, 다른 한 점(B라 하자)에서 접선에 평행하도록 BF를 그어서 궤적과 만나는 점을 F라 하면, F는 보조정리 19를 이용하여 찾을 수 있다.

BF의 중점 G와 A를 이은 선 AG에는 BG와 FG를 세로 좌표로 갖는 지름이 위치한다. AG가 궤적과 만나는 점을 H라 하면 AH가 바로 가로 지름(latus transversum)이다. 가로 지름과 통경의 비율은 BG²과 AG×GH의 비율과 같다. 만일 AG가 궤적과 만나지 않으면 AH가 무한히 길어지면서 궤적은 포물선이 되고, 지름 AG에 대응되는 통경은 BG²/AG 이다. 그러나 AG가 궤적과 만나는 경우, G를 기준으로 A와 H가 같은 쪽에 있으면 궤적은 쌍곡선이 되고, G가 A와 H 사이에 놓여 있으면 타원이 된다. 그리고 ∠AGB가 직각이고 BG²=AG×GH이면 궤적은 원이 된다.

고대의 유클리드와 아폴로니우스도 이 부가정리를 증명했는데, 고대의 수학자들이 그렇듯이 이들도 해석적인 계산 대신 기하학적 정보를 종합하여 동일한 결론을 이끌어냈다.