1. 개요 ✎ ⊖
관성 모멘트(moment of inertia)는 물체가 회전 운동을 하는 상태를 계속 유지하려는 성질을 의미한다. 회전 관성이라고도 부르며, 일반적으로 기호는 inertia(관성)에서 유래한 I(1)를 쓴다. 동일한 물체라도 회전축에 따라 이 값은 얼마든지 달라질 수 있다.
어떤 계에 힘을 주면, 그 계는 어떤 식으로 반응을 한다. 만약 이 계가 선형적이라면, {\bf F}=m{\bf a} 로 나타낼 수 있다.
이는 힘 \bf F가 주어지면, 계는 가속도 \bf a로 반응을 한다는 것인데, 여기서 해석을 달리하면 질량 m은 물체가 힘에 '저항'(2)하는 정도로 생각할 수 있다. 여기서 이 저항 개념을 회전계에서도 그대로 적용할 수 있는데, 문제는 회전계에서는 단순질량만으론 저항을 나타낼 수 없다는 것이다. 가령, 어떤 막대를 두고 돌릴 때, 막대의 중심에서 돌리는 것과 막대의 가장자리에서 돌리는 것에는 차이가 있음을 직관적으로 알 수 있다.
여기서 알 수 있는 것은 회전계에서는 힘에 저항하는 요소가 단순히 질량뿐만 아니라 돌리는 지점의 위치, 나아가서는 '질량중심과 회전축간의 거리'도 포함된다는 것이다. 이렇게 '회전계에서 외부 힘에 저항하는 요소들'을 묶어서 나타낸 것이 바로 이 관성 모멘트이다.
굳이 이렇게 별도의 정의를 세우는 이유는 직선 운동에서 사용하던 기존의 힘과 변위로 회전 에너지를 분석하려고 하면, 그 운동의 특성상 회전 반지름에 따라 질점의 선속도가 달라져서 계가 지나치게 복잡해지는 문제(3)가 생기기 때문이고, 궁극적으론 관성 모멘트를 도입함으로써 역학을 일관성 있게 나타낼 수 있기 때문이다. 가령 {\bf F}=m{\bf a}를 예로 들면, 회전계에서 힘과 가속도 간의 관계는 돌림힘 \bf N, 각가속도 \bm\alpha를 이용하여 {\bf N}=I\bm\alpha로 나타낼 수 있다. 즉, 일반적인 선운동의 표현식에서 질량이 해주는 일을 관성 모멘트로 대체하는 것으로 일관적이고 직관적인 서술이 가능하다는 것이다.
이하 아래 서술에서 각과 관련된 운동량에 \underline{~~}(언더 바)가 그어져있는 것은 각도 단위가 약분된 물리량, 즉 \underline\theta = \theta/{\rm rad}, \underline\omega = \omega/{\rm rad} 등이다.
어떤 계에 힘을 주면, 그 계는 어떤 식으로 반응을 한다. 만약 이 계가 선형적이라면, {\bf F}=m{\bf a} 로 나타낼 수 있다.
이는 힘 \bf F가 주어지면, 계는 가속도 \bf a로 반응을 한다는 것인데, 여기서 해석을 달리하면 질량 m은 물체가 힘에 '저항'(2)하는 정도로 생각할 수 있다. 여기서 이 저항 개념을 회전계에서도 그대로 적용할 수 있는데, 문제는 회전계에서는 단순질량만으론 저항을 나타낼 수 없다는 것이다. 가령, 어떤 막대를 두고 돌릴 때, 막대의 중심에서 돌리는 것과 막대의 가장자리에서 돌리는 것에는 차이가 있음을 직관적으로 알 수 있다.
여기서 알 수 있는 것은 회전계에서는 힘에 저항하는 요소가 단순히 질량뿐만 아니라 돌리는 지점의 위치, 나아가서는 '질량중심과 회전축간의 거리'도 포함된다는 것이다. 이렇게 '회전계에서 외부 힘에 저항하는 요소들'을 묶어서 나타낸 것이 바로 이 관성 모멘트이다.
굳이 이렇게 별도의 정의를 세우는 이유는 직선 운동에서 사용하던 기존의 힘과 변위로 회전 에너지를 분석하려고 하면, 그 운동의 특성상 회전 반지름에 따라 질점의 선속도가 달라져서 계가 지나치게 복잡해지는 문제(3)가 생기기 때문이고, 궁극적으론 관성 모멘트를 도입함으로써 역학을 일관성 있게 나타낼 수 있기 때문이다. 가령 {\bf F}=m{\bf a}를 예로 들면, 회전계에서 힘과 가속도 간의 관계는 돌림힘 \bf N, 각가속도 \bm\alpha를 이용하여 {\bf N}=I\bm\alpha로 나타낼 수 있다. 즉, 일반적인 선운동의 표현식에서 질량이 해주는 일을 관성 모멘트로 대체하는 것으로 일관적이고 직관적인 서술이 가능하다는 것이다.
이하 아래 서술에서 각과 관련된 운동량에 \underline{~~}(언더 바)가 그어져있는 것은 각도 단위가 약분된 물리량, 즉 \underline\theta = \theta/{\rm rad}, \underline\omega = \omega/{\rm rad} 등이다.
2. 정의 ✎ ⊖
2.1. 회전 운동 에너지로부터의 도출 ✎ ⊖
관성 모멘트는 회전 운동 에너지를 논의하면서 처음 보게 된다.
돌림힘 문서에 설명되어있듯이, 어떤 물체에 외력 \bf F가 가해져서 제자리에서 미소 각 변위 {\rm d}{\bf l}만큼 회전하는 경우 미소 회전 운동 에너지 {\rm d}T_r = {\bf F}\bm\cdot{\rm d}{\bf l}이 발생한다. 전체 회전 운동 에너지는 이 미소 에너지의 합(적분)과 같으므로
강체는 질점의 집합체이므로 강체의 T_r는 i번째 질점의 질량 m_i에 가해진 힘 {\bf F}_i에 의해 미소 각변위 {\rm d}{\bf l}_i만큼 이동하여 발생한 질점 운동 에너지들의 총합과 같다. 즉,
i번째 질점의 속도를 {\bf v}_i라고 하면 {\bf F}_i = m_i{{\rm d}{\bf v}_i}/{{\rm d}t}이고 해당 질점의 회전 반지름을 {\bf r}_i라고 하면
이며 내적과 외적에 관한 연산 공식 \bf a\bm\cdot(b\bm\times c) = b\bm\cdot(c\bm\times a) = c\bm\cdot(a\times b)을 이용하여 식을 변형한 뒤,
를 적용하여 식을 정리하면(4)
이때, 가운데 항
을 관성 모멘트라 정의한다. 따라서 회전 운동 에너지를 다음의 형태로 쓸 수 있다.
이는 앞서 직선 운동에서 {\bf F} = m{\bf a}가 회전 운동의 {\bf N} = I\bm\alpha에 대응된다는 것과 일관되는데, {\bf a} = {{\rm d}{\bf v}}/{{\rm d}t}, \bm\alpha = {{\rm d}\bm\omega}/{{\rm d}t}이므로 직선 운동에서의 선속도 {\bf v}가 회전 운동의 각속도 \bm\omega에 대응된다는 점을 감안하면 위 식은 직선 운동에서의 운동 에너지
에서 m \to I, v \to \omega로 대체된 꼴이다.
돌림힘 문서에 설명되어있듯이, 어떤 물체에 외력 \bf F가 가해져서 제자리에서 미소 각 변위 {\rm d}{\bf l}만큼 회전하는 경우 미소 회전 운동 에너지 {\rm d}T_r = {\bf F}\bm\cdot{\rm d}{\bf l}이 발생한다. 전체 회전 운동 에너지는 이 미소 에너지의 합(적분)과 같으므로
| \displaystyle T_r = \int{\bf F}\bm\cdot{\rm d}{\bf l} |
강체는 질점의 집합체이므로 강체의 T_r는 i번째 질점의 질량 m_i에 가해진 힘 {\bf F}_i에 의해 미소 각변위 {\rm d}{\bf l}_i만큼 이동하여 발생한 질점 운동 에너지들의 총합과 같다. 즉,
| \displaystyle T_r = \sum_i\int{\bf F}_i\bm\cdot{\rm d}{\bf l}_i |
i번째 질점의 속도를 {\bf v}_i라고 하면 {\bf F}_i = m_i{{\rm d}{\bf v}_i}/{{\rm d}t}이고 해당 질점의 회전 반지름을 {\bf r}_i라고 하면
| {\rm d}{\bf l}_i = {\rm d}\bm{\underline\theta\times{\bf r}_i} |
이며 내적과 외적에 관한 연산 공식 \bf a\bm\cdot(b\bm\times c) = b\bm\cdot(c\bm\times a) = c\bm\cdot(a\times b)을 이용하여 식을 변형한 뒤,
| \cfrac{{\rm d}{\bf v}_i}{{\rm d}t} = \underline{\bm\alpha}\bm\times{\bf r}_i -|\underline{\bm\omega}|^2{\bf r}_i |
를 적용하여 식을 정리하면(4)
| \begin{aligned}T_r &= \sum_i\int{\bf F}_i\bm\cdot({\rm d}\bm{\underline\theta\times{\bf r}_i}) \\&= \sum_i\int{\rm d}\bm{\underline\theta}\bm\cdot({\bf r}_i\bm\times{\bf F}_i) \\&= \sum_i\int({\bf r}_i\bm\times{\bf F}_i)\bm\cdot{\rm d}\bm{\underline\theta} \\&= \sum_i\int({\bf r}_i\bm\times{\bf F}_i/{\rm rad})\bm\cdot{\rm d}\bm\theta \\&= \sum_i\int{\left\{{\bf r}_i\bm\times{\left(m_i\frac{{\rm d}{\bf v}_i}{{\rm d}t}\right)}/{\rm rad}\right\}}\bm\cdot{\rm d}\bm\theta \\&= \sum_i\int{\left\{m_i{\bf r}_i\bm\times{\left(\underline{\bm\alpha}\bm\times{\bf r}_i -|\underline{\bm\omega}|^2{\bf r}_i\right)}/{\rm rad}\right\}}\bm\cdot{\rm d}\bm\theta \\&= \sum_i\int{\left(m_i|{\bf r}_i|^2\underline{\bm\alpha}/{\rm rad}\right)}\bm\cdot{\rm d}\bm\theta \\&= \sum_i\int{\left(m_i{r_i}^2\bm\alpha/{\rm rad^2}\right)}\bm\cdot{\rm d}\bm\theta \\&= \sum_i\int{\left(m_i{r_i}^2\frac{{\rm d}\bm\omega}{{\rm d}t}/{\rm rad^2}\right)}\bm\cdot\bm\omega{\rm\,d}t \\&= \sum_i\int{\left(m_i{r_i}^2/{\rm rad^2}\right)}\bm{\omega\cdot{\rm d}\omega} \\&= \sum_i\frac12{\left(m_i{r_i}^2/{\rm rad^2}\right)}|\bm\omega|^2 \\&= \frac12{\left(\sum_im_i{r_i}^2/{\rm rad^2}\right)}\omega^2\end{aligned}(5) |
이때, 가운데 항
| \displaystyle I\equiv \sum_im_i{r_i}^2/\rm rad^2 |
을 관성 모멘트라 정의한다. 따라서 회전 운동 에너지를 다음의 형태로 쓸 수 있다.
| T_r = \dfrac12I\omega^2 |
이는 앞서 직선 운동에서 {\bf F} = m{\bf a}가 회전 운동의 {\bf N} = I\bm\alpha에 대응된다는 것과 일관되는데, {\bf a} = {{\rm d}{\bf v}}/{{\rm d}t}, \bm\alpha = {{\rm d}\bm\omega}/{{\rm d}t}이므로 직선 운동에서의 선속도 {\bf v}가 회전 운동의 각속도 \bm\omega에 대응된다는 점을 감안하면 위 식은 직선 운동에서의 운동 에너지
| E_k = \cfrac12m|{\bf v}|^2 = \cfrac12mv^2 |
에서 m \to I, v \to \omega로 대체된 꼴이다.
2.2. 종합 ✎ ⊖
회전축으로부터 거리가 r만큼 떨어진 점질량(6) m이 있을 때, 이 계의 관성 모멘트는 아래와 같이 주어진다.
이때, 같은 축으로부터 n개의 입자가 있을 때, 계의 관성 모멘트는 각 입자의 관성 모멘트를 모두 합해준 값이므로 다음이 성립한다.
다만, 연속체(강체)에서는 질량이 연속적으로 분포하므로 위 식을 적분으로 대체할 수 있다. 이 경우, 미소 관성 모멘트는 미소 질량에 회전축으로부터 떨어진 거리를 곱한 값이 되므로 {\rm d}I=r^2{\rm\,d}m/\rm rad^2이 된다. 이때 \bf r에서의 밀도 분포 함수 \rho({\bf r})를 도입하면, 미소 질량은 {\rm d}m=\rho({\bf r}){\rm\,d}V로 밀도와 미소 부피의 곱으로 쓸 수 있다. 따라서 {\rm d}I=\rho({\bf r})r^2{\rm\,d}V/\rm rad^2으로 쓸 수 있으므로 연속체에서 관성 모멘트는
로 쓸 수 있다. 아래 그림을 참고하면 좋다.
그러나 매우 얇은 판 등의 면밀도 분포 함수 \sigma({\bf r})나 얇은 줄 등 선밀도 분포 함수 \lambda({\bf r})를 이용하여도 관성 모멘트를 구할 수 있는데 이들을 각각 단면 2차 모멘트, 단면 1차 모멘트라 하고 각각 다음과 같이 정의된다.
이때, {\rm d}a, {\rm d}l은 각각 미소 면적, 미소 길이이다.
| I \equiv mr^2/\rm rad^2 |
이때, 같은 축으로부터 n개의 입자가 있을 때, 계의 관성 모멘트는 각 입자의 관성 모멘트를 모두 합해준 값이므로 다음이 성립한다.
| \displaystyle I \equiv \sum_{i=1}^nm_i{r_i}^2/\rm rad^2 |
다만, 연속체(강체)에서는 질량이 연속적으로 분포하므로 위 식을 적분으로 대체할 수 있다. 이 경우, 미소 관성 모멘트는 미소 질량에 회전축으로부터 떨어진 거리를 곱한 값이 되므로 {\rm d}I=r^2{\rm\,d}m/\rm rad^2이 된다. 이때 \bf r에서의 밀도 분포 함수 \rho({\bf r})를 도입하면, 미소 질량은 {\rm d}m=\rho({\bf r}){\rm\,d}V로 밀도와 미소 부피의 곱으로 쓸 수 있다. 따라서 {\rm d}I=\rho({\bf r})r^2{\rm\,d}V/\rm rad^2으로 쓸 수 있으므로 연속체에서 관성 모멘트는
| \begin{aligned} I &= \int r^2{\rm\,d}m/\rm rad^2 \\ &= \int \rho({\bf r})r^2{\rm\,d}V/\rm rad^2 \end{aligned} |
로 쓸 수 있다. 아래 그림을 참고하면 좋다.
그러나 매우 얇은 판 등의 면밀도 분포 함수 \sigma({\bf r})나 얇은 줄 등 선밀도 분포 함수 \lambda({\bf r})를 이용하여도 관성 모멘트를 구할 수 있는데 이들을 각각 단면 2차 모멘트, 단면 1차 모멘트라 하고 각각 다음과 같이 정의된다.
| \begin{aligned} I &\equiv \int \sigma({\bf r})r^2{\rm\,d}a/\rm rad^2 \\ I &\equiv \int \lambda({\bf r})r^2{\rm\,d}l/\rm rad^2 \end{aligned} |
이때, {\rm d}a, {\rm d}l은 각각 미소 면적, 미소 길이이다.
3. 차원 ✎ ⊖
차원 분석을 하면 I \equiv mr^2/{\rm rad^2}이므로 현행 국제단위계의 약속 기준으로
이지만 엄밀하게 따지면 각도는 무차원량이 아니며 각도의 차원을 \sf A라고 하면
이며 따라서 표준 단위는
이다.(7) 비록 스테라디안이 라디안의 제곱({\rm sr} = {\rm rad^2})이기는 하나 본 단위는 구심가속도 a = r\omega^2/\rm rad^2의 경우와 마찬가지로 입체각과는 아무런 관련이 없다. 다만 위와 같은 단위 표기로부터 관성 모멘트가 회전 운동과 직접적으로 관련이 있는 물리량이라는 점을 유추할 수 있는데, 이 값이 클수록 단위 각도(\rm rad)만큼 회전할 때 가해야하는 힘(\rm N) 또는 에너지(\rm J) 또는 토크(\rm J/rad)가 커야 한다는 뜻이 되므로 '관성 모멘트가 크다 = 회전 운동하기 어렵다'는 해석을 바로 도출할 수 있다.(8) 한편, \rm kg{\cdot}m^2/rad^2에서 \rm m는 강체를 이루는 질량(혹은 질점들)이 회전축으로부터 떨어진 거리에서 유래한 단위이므로 질량 중심의 회전 반지름이 클수록 관성 모멘트가 크고 곧 해당 물체는 회전 운동하기 어렵다는 것을 유추할 수 있다.
| \begin{aligned} \dim I &= \dim(mr^2/{\rm rad^2}) \\ &= {\sf ML^21^{-2}} \\ &= {\sf ML^2} \end{aligned} |
이지만 엄밀하게 따지면 각도는 무차원량이 아니며 각도의 차원을 \sf A라고 하면
| \dim I = {\sf ML^2A^{-2}} |
이며 따라서 표준 단위는
| {\rm kg{\cdot}m^2/rad^2} = \cfrac{\rm kg{\cdot}m^2/s^2}{\rm rad^2/s^2} = {\rm J{\cdot}s^2/rad^2} = {\rm N{\cdot}m{\cdot}s^2/rad^2} |
이다.(7) 비록 스테라디안이 라디안의 제곱({\rm sr} = {\rm rad^2})이기는 하나 본 단위는 구심가속도 a = r\omega^2/\rm rad^2의 경우와 마찬가지로 입체각과는 아무런 관련이 없다. 다만 위와 같은 단위 표기로부터 관성 모멘트가 회전 운동과 직접적으로 관련이 있는 물리량이라는 점을 유추할 수 있는데, 이 값이 클수록 단위 각도(\rm rad)만큼 회전할 때 가해야하는 힘(\rm N) 또는 에너지(\rm J) 또는 토크(\rm J/rad)가 커야 한다는 뜻이 되므로 '관성 모멘트가 크다 = 회전 운동하기 어렵다'는 해석을 바로 도출할 수 있다.(8) 한편, \rm kg{\cdot}m^2/rad^2에서 \rm m는 강체를 이루는 질량(혹은 질점들)이 회전축으로부터 떨어진 거리에서 유래한 단위이므로 질량 중심의 회전 반지름이 클수록 관성 모멘트가 크고 곧 해당 물체는 회전 운동하기 어렵다는 것을 유추할 수 있다.
4. 관성 모멘트 목록 ✎ ⊖
매번 적분을 계산하기 힘들기 때문에, 물체의 강체의 모양 따른 관성 모멘트를 나타낸 목록이 존재한다. 이 문서에서는 자주 나오는 여섯 종류의 강체만 소개한다.
아래의 모든 강체의 질량은 M이며, 밀도는 균일하다.
이 외에도 여러 도형의 관성 모멘트 식이 알려져 있으며, 자세한 것은 이곳을 참고할 것.
아래의 모든 강체의 질량은 M이며, 밀도는 균일하다.
| 회전축이 중심에 있는 길이 \bm L인 얇은 막대 |
| I=\dfrac1{12}ML^2/\rm rad^2 |
| 회전축이 막대 끝에 있는 길이 \bm L인 얇은 막대 |
| I=\dfrac13ML^2/\rm rad^2 |
| 속이 꽉 찬 반지름이 \bm R인 구 |
| I=\dfrac25MR^2/\rm rad^2 |
| 반지름이 \bm R인 구 껍질 |
| I=\dfrac23MR^2/\rm rad^2 |
| 반지름과 높이가 각각 \bm R, \bm h인 원판 |
| I=\dfrac12MR^2/\rm rad^2 |
| 반지름과 높이가 각각 \bm R, \bm h인 속이 빈 원판(9) |
| I=MR^2/\rm rad^2 |
이 외에도 여러 도형의 관성 모멘트 식이 알려져 있으며, 자세한 것은 이곳을 참고할 것.
5. 관련 정리 ✎ ⊖
5.1. 평행축 정리 ✎ ⊖
평행축 정리(parallel-axis theorem)는 한 물체의 서로 평행한 두 회전축에 대한 관성 모멘트의 관계이다.
질량이 M인 질점계의 질량중심을 \rm CM이라 하고, 그 점을 수직으로 지나가는 회전축 \rm I에서 측정된 계의 관성 모멘트를 I_{\rm CM}이라 하자. 또, 계에서 i번째 질점을 m_i라 놓고, 회전축 \rm I를 기준으로 i번째 질점까지의 위치 벡터를 {\bf r'}_i(10)라 하면,
이때, 축을 \rm CM으로부터 \bf a만큼 평행이동한 회전축 \rm II에서 측정된 관성 모멘트를 I_{\rm P}라 하자. 이때, 축으로부터 질점까지의 거리 벡터는 {\bf R'}_i = {\bf r'}_i-{\bf a}가 된다. 따라서
가 되고, 모든 항을 전개하는데 \bf a는 상수 벡터(constant vector)이기에 합의 기호 밖으로 뺄 수 있으므로
가 된다. 이때 제3항은 질량중심을 나타내는 벡터(참고)와 관련된 것인데, {\bf r'}_i이 질량중심으로부터 측정된 벡터이기 때문에 제3항은 0{\rm\,kg{\cdot}m^2}이 된다. 따라서
이고, 제1항은 위에서 구했던 I_{\rm CM}\rm\,rad^2이고, 제2항의 \displaystyle \sum_{i=1}^nm_i=M으로써 질점계의 총 질량이므로 다음이 성립한다.
이 정리는 연속체에 대해서도 똑같은 방법으로 증명되므로 질점계 및 강체에 모두 적용할 수 있다.
질량이 M인 질점계의 질량중심을 \rm CM이라 하고, 그 점을 수직으로 지나가는 회전축 \rm I에서 측정된 계의 관성 모멘트를 I_{\rm CM}이라 하자. 또, 계에서 i번째 질점을 m_i라 놓고, 회전축 \rm I를 기준으로 i번째 질점까지의 위치 벡터를 {\bf r'}_i(10)라 하면,
| \begin{aligned} I_{\rm CM}{\rm\,rad^2} &= \sum_{i=1}^n m_i({\bf r'}_i\bm\cdot{\bf r'}_i) \\ &= \sum_{i=1}^n m_i{{r'}_i}^2 \end{aligned} |
이때, 축을 \rm CM으로부터 \bf a만큼 평행이동한 회전축 \rm II에서 측정된 관성 모멘트를 I_{\rm P}라 하자. 이때, 축으로부터 질점까지의 거리 벡터는 {\bf R'}_i = {\bf r'}_i-{\bf a}가 된다. 따라서
| \begin{aligned} I_{\rm P}{\rm\,rad^2} &= \sum_{i=1}^nm_i({\bf R'}_i\bm\cdot{\bf R'}_i) \\ &= \sum_{i=1}^nm_i{\left\{({\bf r'}_i-{\bf a})\bm\cdot({\bf r'}_i-{\bf a})\right\}}\end{aligned} |
가 되고, 모든 항을 전개하는데 \bf a는 상수 벡터(constant vector)이기에 합의 기호 밖으로 뺄 수 있으므로
| \displaystyle I_{\rm P}{\rm\,rad^2} = \sum_{i=1}^nm_i{{r'}_i}^2 + \sum_{i=1}^nm_ia^2 - 2{\bf a}\bm\cdot\sum_{i=1}^nm_i{\bf r'}_i |
가 된다. 이때 제3항은 질량중심을 나타내는 벡터(참고)와 관련된 것인데, {\bf r'}_i이 질량중심으로부터 측정된 벡터이기 때문에 제3항은 0{\rm\,kg{\cdot}m^2}이 된다. 따라서
| \displaystyle I_{\rm P}{\rm\,rad^2} = \sum_{i=1}^nm_i {{r'}_i}^2 + \sum_{i=1}^nm_ia^2 |
이고, 제1항은 위에서 구했던 I_{\rm CM}\rm\,rad^2이고, 제2항의 \displaystyle \sum_{i=1}^nm_i=M으로써 질점계의 총 질량이므로 다음이 성립한다.
| I_{\rm P} = I_{\rm CM} + Ma^2/{\rm rad^2} |
이 정리는 연속체에 대해서도 똑같은 방법으로 증명되므로 질점계 및 강체에 모두 적용할 수 있다.
5.2. 수직축 정리 ✎ ⊖
수직축 정리는 서로 수직한 세 회전축에 대한 관성 모멘트의 관계이다. xy평면 위에 놓인 판 모양의 물체에 대해(12), 서로 수직한 세개의 축을 각각 x축, y축, z축이라 하고, 각각의 축에서 측정된 관성 모멘트를 각각 I_x, I_y, I_z라 하자.
이때, 각 축에 대한 i번째 질점까지의 거리를 r_{ix}, r_{iy}, r_{iz}라 놓으면, n개의 질점계에 대해
| \displaystyle I_z = \sum_{i=1}^nm_i{r_{iz}}^2/\rm rad^2 |
이고, 피타고라스 정리에 의해 {r_{iz}}^2 = {r_{ix}}^2 + {r_{iy}}^2이므로 다음이 성립한다.
| \begin{aligned} I_z{\rm\,rad^2} &= \sum_{i=1}^nm_i{\left({r_{ix}}^2 + {r_{iy}}^2\right)} \\ &= \sum_{i=1}^nm_i{r_{ix}}^2 + \sum_{i=1}^nm_i{r_{iy}}^2\end{aligned} |
이때, \displaystyle\sum_{i=1}^nm_i{r_{ix}}^2/{\rm rad^2} \equiv I_x, \displaystyle\sum_{i=1}^nm_i{r_{iy}}^2/{\rm rad^2} \equiv I_y임에 따라 다음의 수직축 정리를 얻는다.
| I_z = I_x + I_y |
이 정리는 연속체에 대해서도 똑같은 방법으로 증명되므로 질점계 및 강체에 모두 적용할 수 있다.
(1) 전기기기 서적 등 전기와 관련된 서적에서는 전류와 구별하기 위해 J를 쓰는 경우도 있다.
(2)이를 엄밀히 정의한 것이 '관성의 법칙'이다.
(3)(선속도)=(회전 반지름)\times(각속도)\rm/rad임을 상기하자. 한편, 회전하면서 강체의 모양이 변형되지 않는 한 질점들의 시간당 각 변위는 동일하기 때문에 각속도는 모든 질점에서 동일하며 이는 각가속도도 마찬가지이다.
(4)참고로 회전 운동이기 때문에 질점간에 선속도는 다르지만 각속도와 각가속도는 동일하다.
(5)중간에 {\rm d}\bm{\underline\theta} = {\rm d}\bm\theta/{\rm rad}의 \rm/rad이 \bf r\bm\times F 쪽으로 넘어가는 이유는 (회전 운동 에너지)=(돌림힘)\times(각도)의 관계에 있어 결과적으로 (돌림힘)=(회전 운동 에너지)/(각도), 즉 돌림힘이 각도 당 회전 운동 에너지 차원이라는 점을 드러내기 위해서이다. 따라서 일반적으로 알려진 돌림힘의 단위 \rm N{\cdot}m도 정확하게는 \rm rad을 살려서 \rm N{\cdot}m/rad = J/rad으로 나타내는 것이 정확하며, 이는 일률 P와 돌림힘의 관계식 P = \bm{{\bf N}\cdot\omega}으로부터 얻어지는 단위 관계 \rm J/s = (J/rad){\cdot}(rad/s)와도 일관성이 있다는 점을 알 수 있다. 운동 방정식에 이렇게 단위가 끼어드는 게 어색할 수 있는데, 물리량만으로 구성되는 여타 일반적인 방정식과는 달리, 회전 운동 에너지의 방정식은 각도 그 자체가 아닌 각도의 수치가 포함되는 수치 방정식이기 때문에 단위를 포함시켜서 쓰는 게 정확한 표기이다.
(6)질량이 한 점에 모여있는 입자를 말한다. 즉, 질점.
(7)현행 국제단위계에서는 \rm rad = 1로 약속하고 있으므로 익숙한 단위 \rm kg{\cdot}m^2이 도출되기는 한다.
(8)엄밀하게 따지면 정의에서 논한대로 T_r = \cfrac12I\omega^2, 즉 관성 모멘트는 에너지와 각속도(\rm rad/s)에 직접적으로 연관된 물리량이므로 각도가 아닌 각속도의 변화를 기준으로 논해야 하지만, 직관적으로 정지해 있는 물체를 회전시키려는 상황을 상정하면 얼추 맞기는 하다.
(9)단, 원판의 두께는 무시할 수 있을 만큼 얇다고 가정할 때 성립한다.
(10)프라임은 회전축으로부터 측정된 벡터임을 강조하기 위한 것이다.
(참고)총 질량이 M인 질점계의 질량중심 벡터 \bf M은 \displaystyle {\bf M} \equiv \frac1M\sum_{i=1}^nm_i{\bf r'}_i이다.
(12)모든 물체에 대해 성립하지는 않는다.
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(참고)
(12)