[[분류:수학]]
==개요==
유클리드 기하학에서, [math(c)]가 빗변인 직각삼각형에 대하여 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(a^2+b^2=c^2)] }}}
이를 피타고라스 정리(Pythagoras' theorem)라고 한다. 역 또한 성립한다.[* 코사인 법칙을 통해 증명할 수 있다.] 현재 약 370개의 증명이 알려져 있다.
피타고라스가 이를 발견하고 너무 기뻐서 신에게 제사까지 지냈다. 그런데 이 때문에 무리수가 존재한다는 것이 밝혀져,[* 자세한 증명은 유클리드가 했다.] 세상은 자연수(유리수)만으로 표현 가능하다고 믿었던 거의 신앙 단체인 피타고라스 학파는 혼란에 빠졌다. 그래서 무리수의 존재를 세상에 알리려 한 히파수스라는 제자가 수장당했다는 얘기가 있다.
==쓰임새==
벡터의 크기, 히포크라테스 원, 코사인 법칙, 원의 방정식 등 쓰임새가 무궁무진하다. 그 중에서도 가장 자주 쓰이는 것 중 하나가 두 점 사이의 거리를 구하는 것이다. 두 점 사이의 x좌표, y좌표 차가 각각 [math(x, y)]일 때 거리는 [math(\sqrt{x^2+y^2})]이다. 중학교 2학년 [[수학(교과목)|수학]]에서 무리수를 배우기도 전에 피타고라스 정리가 나온다.
==피타고라스 세 쌍==
자연수 [math(a,b,c)]가 피타고라스 정리 [math(a^2+b^2=c^2)]를 만족할 때, 이 세 자연수의 순서쌍 [math((a,b,c))]를 '''피타고라스 세 쌍'''(Pythagorean triple)이라 한다.
대표적인 예로는 다음과 같은 세 쌍들이 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math((3, 4, 5))]
[br] [math((5, 12, 13))]
[br] [math((8, 15, 17))]
}}}
이들 세 쌍은 모두 서로소인 [math(a,b,c)]로 이루어져 있으며, 이를 '''기본 피타고라스 세 쌍'''이라 한다.
기본 피타고라스 세 쌍의 모든 배수 역시 피타고라스 세 쌍이 된다.
또한, 서로소인 자연수 [math(m>n)]에 대하여 다음과 같이 정의하면 항상 피타고라스 세 쌍이 된다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(a=m^2-n^2,\; b=2mn,\; c=m^2+n^2)]
}}}
이 방법을 통해 모든 기본 피타고라스 세 쌍을 생성할 수 있다.
