[[분류:물리학]]
[include(틀:포크/나무위키, doc=관성 모멘트,rev=184)]
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== 개요 ==
'''관성 모멘트'''(moment of inertia)는 물체가 회전 운동을 하는 상태를 계속 유지하려는 성질을 의미한다. 회전 관성이라고도 부르며, 일반적으로 기호는 inertia(관성)에서 유래한 [math(I)][* 전기기기 서적 등 전기와 관련된 서적에서는 전류와 구별하기 위해 [math(J)]를 쓰는 경우도 있다.]를 쓴다. 동일한 물체라도 회전축에 따라 이 값은 얼마든지 달라질 수 있다.
어떤 계에 힘을 주면, 그 계는 어떤 식으로 반응을 한다. 만약 이 계가 선형적이라면, [math({\bf F}=m{\bf a})] 로 나타낼 수 있다.
이는 힘 [math(\bf F)]가 주어지면, 계는 가속도 [math(\bf a)]로 반응을 한다는 것인데, 여기서 해석을 달리하면 질량 [math(m)]은 물체가 힘에 '저항'[* 이를 엄밀히 정의한 것이 '관성의 법칙'이다.]하는 정도로 생각할 수 있다. 여기서 이 저항 개념을 회전계에서도 그대로 적용할 수 있는데, 문제는 회전계에서는 단순질량만으론 저항을 나타낼 수 없다는 것이다. 가령, 어떤 막대를 두고 돌릴 때, 막대의 중심에서 돌리는 것과 막대의 가장자리에서 돌리는 것에는 차이가 있음을 직관적으로 알 수 있다.
여기서 알 수 있는 것은 회전계에서는 힘에 저항하는 요소가 단순히 질량뿐만 아니라 돌리는 지점의 위치, '''나아가서는 '질량중심과 회전축간의 거리'도 포함된다는 것이다.''' 이렇게 '회전계에서 외부 힘에 저항하는 요소들'을 묶어서 나타낸 것이 바로 이 관성 모멘트이다.
굳이 이렇게 별도의 정의를 세우는 이유는 직선 운동에서 사용하던 기존의 힘과 변위로 회전 에너지를 분석하려고 하면, 그 운동의 특성상 회전 반지름에 따라 질점의 선속도가 달라져서 계가 지나치게 복잡해지는 문제[* (선속도)[math(=)]('''회전 반지름''')[math(\times)](각속도)[math(\rm/rad)]임을 상기하자. 한편, 회전하면서 강체의 모양이 변형되지 않는 한 질점들의 시간당 각 변위는 동일하기 때문에 각속도는 모든 질점에서 동일하며 이는 각가속도도 마찬가지이다.]가 생기기 때문이고, 궁극적으론 관성 모멘트를 도입함으로써 역학을 일관성 있게 나타낼 수 있기 때문이다. 가령 [math({\bf F}=m{\bf a})]를 예로 들면, 회전계에서 힘과 가속도 간의 관계는 돌림힘 [math(\bf N)], 각가속도 [math(\bm\alpha)]를 이용하여 [math({\bf N}=I\bm\alpha)]로 나타낼 수 있다. 즉, 일반적인 선운동의 표현식에서 질량이 해주는 일을 관성 모멘트로 대체하는 것으로 일관적이고 직관적인 서술이 가능하다는 것이다.
이하 아래 서술에서 각과 관련된 운동량에 [math(\underline{~~})](언더 바)가 그어져있는 것은 각도 단위가 약분된 물리량, 즉 [math(\underline\theta = \theta/{\rm rad})], [math(\underline\omega = \omega/{\rm rad})] 등이다.
== 정의 ==
=== 회전 운동 에너지로부터의 도출 ===
관성 모멘트는 회전 운동 에너지를 논의하면서 처음 보게 된다.
돌림힘 문서에 설명되어있듯이, 어떤 물체에 외력 [math(\bf F)]가 가해져서 제자리에서 미소 각 변위 [math({\rm d}{\bf l})]만큼 회전하는 경우 미소 회전 운동 에너지 [math({\rm d}T_r = {\bf F}\bm\cdot{\rm d}{\bf l})]이 발생한다. 전체 회전 운동 에너지는 이 미소 에너지의 합(적분)과 같으므로
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1c1d1f><tablebordercolor=#fff,#1c1d1f> [math(\displaystyle T_r = \int{\bf F}\bm\cdot{\rm d}{\bf l})] ||
강체는 질점의 집합체이므로 강체의 [math(T_r)]는 [math(i)]번째 질점의 질량 [math(m_i)]에 가해진 힘 [math({\bf F}_i)]에 의해 미소 각변위 [math({\rm d}{\bf l}_i)]만큼 이동하여 발생한 질점 운동 에너지들의 총합과 같다. 즉,
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1c1d1f><tablebordercolor=#fff,#1c1d1f> [math(\displaystyle T_r = \sum_i\int{\bf F}_i\bm\cdot{\rm d}{\bf l}_i)] ||
[math(i)]번째 질점의 속도를 [math({\bf v}_i)]라고 하면 [math({\bf F}_i = m_i{{\rm d}{\bf v}_i}/{{\rm d}t})]이고 해당 질점의 회전 반지름을 [math({\bf r}_i)]라고 하면
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1c1d1f><tablebordercolor=#fff,#1c1d1f> [math({\rm d}{\bf l}_i = {\rm d}\bm{\underline\theta\times{\bf r}_i})] ||
이며 내적과 외적에 관한 연산 공식 [math(\bf a\bm\cdot(b\bm\times c) = b\bm\cdot(c\bm\times a) = c\bm\cdot(a\times b))]을 이용하여 식을 변형한 뒤,
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1c1d1f><tablebordercolor=#fff,#1c1d1f> [math(\cfrac{{\rm d}{\bf v}_i}{{\rm d}t} = \underline{\bm\alpha}\bm\times{\bf r}_i -|\underline{\bm\omega}|^2{\bf r}_i)] ||
를 적용하여 식을 정리하면[* 참고로 회전 운동이기 때문에 질점간에 선속도는 다르지만 각속도와 각가속도는 동일하다.]
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1c1d1f><tablebordercolor=#fff,#1c1d1f> [math(\begin{aligned}T_r &= \sum_i\int{\bf F}_i\bm\cdot({\rm d}\bm{\underline\theta\times{\bf r}_i}) \\
&= \sum_i\int{\rm d}\bm{\underline\theta}\bm\cdot({\bf r}_i\bm\times{\bf F}_i) \\
&= \sum_i\int({\bf r}_i\bm\times{\bf F}_i)\bm\cdot{\rm d}\bm{\underline\theta} \\
&= \sum_i\int({\bf r}_i\bm\times{\bf F}_i/{\rm rad})\bm\cdot{\rm d}\bm\theta \\
&= \sum_i\int{\left\{{\bf r}_i\bm\times{\left(m_i\frac{{\rm d}{\bf v}_i}{{\rm d}t}\right)}/{\rm rad}\right\}}\bm\cdot{\rm d}\bm\theta \\
&= \sum_i\int{\left\{m_i{\bf r}_i\bm\times{\left(\underline{\bm\alpha}\bm\times{\bf r}_i -|\underline{\bm\omega}|^2{\bf r}_i\right)}/{\rm rad}\right\}}\bm\cdot{\rm d}\bm\theta \\
&= \sum_i\int{\left(m_i|{\bf r}_i|^2\underline{\bm\alpha}/{\rm rad}\right)}\bm\cdot{\rm d}\bm\theta \\
&= \sum_i\int{\left(m_i{r_i}^2\bm\alpha/{\rm rad^2}\right)}\bm\cdot{\rm d}\bm\theta \\
&= \sum_i\int{\left(m_i{r_i}^2\frac{{\rm d}\bm\omega}{{\rm d}t}/{\rm rad^2}\right)}\bm\cdot\bm\omega{\rm\,d}t \\
&= \sum_i\int{\left(m_i{r_i}^2/{\rm rad^2}\right)}\bm{\omega\cdot{\rm d}\omega} \\
&= \sum_i\frac12{\left(m_i{r_i}^2/{\rm rad^2}\right)}|\bm\omega|^2 \\
&= \frac12{\left(\sum_im_i{r_i}^2/{\rm rad^2}\right)}\omega^2\end{aligned})][* 중간에 [math({\rm d}\bm{\underline\theta} = {\rm d}\bm\theta/{\rm rad})]의 [math(\rm/rad)]이 [math(\bf r\bm\times F)] 쪽으로 넘어가는 이유는 (회전 운동 에너지)[math(=)](돌림힘)[math(\times)](각도)의 관계에 있어 결과적으로 (돌림힘)[math(=)](회전 운동 에너지)/(각도), 즉 돌림힘이 '''각도 당 회전 운동 에너지''' 차원이라는 점을 드러내기 위해서이다. 따라서 일반적으로 알려진 돌림힘의 단위 [math(\rm N{\cdot}m)]도 정확하게는 [math(\rm rad)]을 살려서 [math(\rm N{\cdot}m/rad = J/rad)]으로 나타내는 것이 정확하며, 이는 일률 [math(P)]와 돌림힘의 관계식 [math(P = \bm{{\bf N}\cdot\omega})]으로부터 얻어지는 단위 관계 [math(\rm J/s = (J/rad){\cdot}(rad/s))]와도 일관성이 있다는 점을 알 수 있다. 운동 방정식에 이렇게 단위가 끼어드는 게 어색할 수 있는데, 물리량만으로 구성되는 여타 일반적인 방정식과는 달리, 회전 운동 에너지의 방정식은 각도 그 자체가 아닌 각도의 수치가 포함되는 수치 방정식이기 때문에 단위를 포함시켜서 쓰는 게 정확한 표기이다.] ||
이때, 가운데 항
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1c1d1f><tablebordercolor=#fff,#1c1d1f> [math(\displaystyle I\equiv \sum_im_i{r_i}^2/\rm rad^2)] ||
을 '''관성 모멘트'''라 정의한다. 따라서 회전 운동 에너지를 다음의 형태로 쓸 수 있다.
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1c1d1f><tablebordercolor=#fff,#1c1d1f> [math(T_r = \dfrac12I\omega^2)] ||
이는 앞서 직선 운동에서 [math({\bf F} = m{\bf a})]가 회전 운동의 [math({\bf N} = I\bm\alpha)]에 대응된다는 것과 일관되는데, [math({\bf a} = {{\rm d}{\bf v}}/{{\rm d}t})], [math(\bm\alpha = {{\rm d}\bm\omega}/{{\rm d}t})]이므로 직선 운동에서의 선속도 [math({\bf v})]가 회전 운동의 각속도 [math(\bm\omega)]에 대응된다는 점을 감안하면 위 식은 직선 운동에서의 운동 에너지
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1c1d1f><tablebordercolor=#fff,#1c1d1f> [math(E_k = \cfrac12m|{\bf v}|^2 = \cfrac12mv^2)] ||
에서 [math(m \to I)], [math(v \to \omega)]로 대체된 꼴이다.
=== 종합 ===
회전축으로부터 거리가 [math(r)]만큼 떨어진 점질량[* 질량이 한 점에 모여있는 입자를 말한다. 즉, 질점.] [math(m)]이 있을 때, 이 계의 관성 모멘트는 아래와 같이 주어진다.
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1c1d1f><tablebordercolor=#fff,#1c1d1f> [math(I \equiv mr^2/\rm rad^2)] ||
이때, 같은 축으로부터 [math(n)]개의 입자가 있을 때, 계의 관성 모멘트는 각 입자의 관성 모멘트를 모두 합해준 값이므로 다음이 성립한다.
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1c1d1f><tablebordercolor=#fff,#1c1d1f> [math(\displaystyle I \equiv \sum_{i=1}^nm_i{r_i}^2/\rm rad^2)] ||
다만, 연속체(강체)에서는 질량이 연속적으로 분포하므로 위 식을 적분으로 대체할 수 있다. 이 경우, 미소 관성 모멘트는 미소 질량에 회전축으로부터 떨어진 거리를 곱한 값이 되므로 [math({\rm d}I=r^2{\rm\,d}m/\rm rad^2)]이 된다. 이때 [math(\bf r)]에서의 밀도 분포 함수 [math(\rho({\bf r}))]를 도입하면, 미소 질량은 [math({\rm d}m=\rho({\bf r}){\rm\,d}V)]로 밀도와 미소 부피의 곱으로 쓸 수 있다. 따라서 [math({\rm d}I=\rho({\bf r})r^2{\rm\,d}V/\rm rad^2)]으로 쓸 수 있으므로 연속체에서 관성 모멘트는
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1c1d1f><tablebordercolor=#fff,#1c1d1f> [math(\begin{aligned} I &= \int r^2{\rm\,d}m/\rm rad^2 \\ &= \int \rho({\bf r})r^2{\rm\,d}V/\rm rad^2 \end{aligned})] ||
로 쓸 수 있다. 아래 그림을 참고하면 좋다.
그러나 매우 얇은 판 등의 면밀도 분포 함수 [math(\sigma({\bf r}))]나 얇은 줄 등 선밀도 분포 함수 [math(\lambda({\bf r}))]를 이용하여도 관성 모멘트를 구할 수 있는데 이들을 각각 '''단면 2차 모멘트''', '''단면 1차 모멘트'''라 하고 각각 다음과 같이 정의된다.
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1c1d1f><tablebordercolor=#fff,#1c1d1f> [math(\begin{aligned} I &\equiv \int \sigma({\bf r})r^2{\rm\,d}a/\rm rad^2 \\ I &\equiv \int \lambda({\bf r})r^2{\rm\,d}l/\rm rad^2 \end{aligned})] ||
이때, [math({\rm d}a)], [math({\rm d}l)]은 각각 미소 면적, 미소 길이이다.
== 차원 ==
차원 분석을 하면 [math(I \equiv mr^2/{\rm rad^2})]이므로 현행 국제단위계의 약속 기준으로
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1c1d1f><tablebordercolor=#fff,#1c1d1f> [math(\begin{aligned} \dim I &= \dim(mr^2/{\rm rad^2}) \\ &= {\sf ML^21^{-2}} \\ &= {\sf ML^2} \end{aligned})] ||
이지만 엄밀하게 따지면 각도는 무차원량이 아니며 각도의 차원을 [math(\sf A)]라고 하면
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1c1d1f><tablebordercolor=#fff,#1c1d1f> [math(\dim I = {\sf ML^2A^{-2}})] ||
이며 따라서 표준 단위는
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1c1d1f><tablebordercolor=#fff,#1c1d1f> [math({\rm kg{\cdot}m^2/rad^2} = \cfrac{\rm kg{\cdot}m^2/s^2}{\rm rad^2/s^2} = {\rm J{\cdot}s^2/rad^2} = {\rm N{\cdot}m{\cdot}s^2/rad^2})] ||
이다.[* 현행 국제단위계에서는 [math(\rm rad = 1)]로 약속하고 있으므로 익숙한 단위 [math(\rm kg{\cdot}m^2)]이 도출되기는 한다.] 비록 스테라디안이 라디안의 제곱([math({\rm sr} = {\rm rad^2})])이기는 하나 본 단위는 구심가속도 [math(a = r\omega^2/\rm rad^2)]의 경우와 마찬가지로 입체각과는 아무런 관련이 없다. 다만 위와 같은 단위 표기로부터 관성 모멘트가 회전 운동과 직접적으로 관련이 있는 물리량이라는 점을 유추할 수 있는데, 이 값이 클수록 단위 각도([math(\rm rad)])만큼 회전할 때 가해야하는 힘([math(\rm N)]) 또는 에너지([math(\rm J)]) 또는 토크([math(\rm J/rad)])가 커야 한다는 뜻이 되므로 '관성 모멘트가 크다 = 회전 운동하기 어렵다'는 해석을 바로 도출할 수 있다.[* 엄밀하게 따지면 정의에서 논한대로 [math(T_r = \cfrac12I\omega^2)], 즉 관성 모멘트는 에너지와 각속도([math(\rm rad/s)])에 직접적으로 연관된 물리량이므로 각도가 아닌 각속도의 변화를 기준으로 논해야 하지만, 직관적으로 정지해 있는 물체를 회전시키려는 상황을 상정하면 얼추 맞기는 하다.] 한편, [math(\rm kg{\cdot}m^2/rad^2)]에서 [math(\rm m)]는 강체를 이루는 질량(혹은 질점들)이 회전축으로부터 떨어진 거리에서 유래한 단위이므로 질량 중심의 회전 반지름이 클수록 관성 모멘트가 크고 곧 해당 물체는 회전 운동하기 어렵다는 것을 유추할 수 있다.
== 관성 모멘트 목록 ==
매번 적분을 계산하기 힘들기 때문에, 물체의 강체의 모양 따른 관성 모멘트를 나타낸 목록이 존재한다. 이 문서에서는 자주 나오는 여섯 종류의 강체만 소개한다.
아래의 모든 강체의 질량은 [math(M)]이며, 밀도는 균일하다.
||<table align=center><bgcolor=#dddddd,#555555><table width=300><table bgcolor=#fff,#000> '''회전축이 중심에 있는 길이 [math(\bm L)]인 얇은 막대''' ||
||<height=50px> [math(I=\dfrac1{12}ML^2/\rm rad^2)] ||
||<table align=center><bgcolor=#dddddd,#555555><table width=300><table bgcolor=#fff,#000> '''회전축이 막대 끝에 있는 길이 [math(\bm L)]인 얇은 막대''' ||
||<height=50px> [math(I=\dfrac13ML^2/\rm rad^2)] ||
||<table align=center><bgcolor=#dddddd,#555555><table width=300><table bgcolor=#fff,#000> '''속이 꽉 찬 반지름이 [math(\bm R)]인 구''' ||
||<height=50px> [math(I=\dfrac25MR^2/\rm rad^2)] ||
||<table align=center><bgcolor=#dddddd,#555555><table width=300><table bgcolor=#fff,#000> '''반지름이 [math(\bm R)]인 구 껍질''' ||
||<height=50px> [math(I=\dfrac23MR^2/\rm rad^2)] ||
||<table align=center><bgcolor=#dddddd,#555555><table width=300><table bgcolor=#fff,#000> '''반지름과 높이가 각각 [math(\bm R)], [math(\bm h)]인 원판''' ||
||<height=50px> [math(I=\dfrac12MR^2/\rm rad^2)] ||
||<table align=center><bgcolor=#dddddd,#555555><table width=300><table bgcolor=#fff,#000> '''반지름과 높이가 각각 [math(\bm R)], [math(\bm h)]인 속이 빈 원판'''[* 단, 원판의 두께는 무시할 수 있을 만큼 얇다고 가정할 때 성립한다.] ||
||<height=50px> [math(I=MR^2/\rm rad^2)] ||
이 외에도 여러 도형의 관성 모멘트 식이 알려져 있으며, 자세한 것은 [[https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B4%80%EC%84%B1_%EB%AA%A8%EB%A9%98%ED%8A%B8%EC%9D%98_%EB%AA%A9%EB%A1%9D|이곳]]을 참고할 것.
== 관련 정리 ==
=== 평행축 정리 ===
평행축 정리(parallel-axis theorem)는 한 물체의 서로 평행한 두 회전축에 대한 관성 모멘트의 관계이다.
질량이 [math(M)]인 질점계의 질량중심을 [math(\rm CM)]이라 하고, 그 점을 수직으로 지나가는 회전축 [math(\rm I)]에서 측정된 계의 관성 모멘트를 [math(I_{\rm CM})]이라 하자. 또, 계에서 [math(i)]번째 질점을 [math(m_i)]라 놓고, 회전축 [math(\rm I)]를 기준으로 [math(i)]번째 질점까지의 위치 벡터를 [math({\bf r'}_i)][* 프라임은 회전축으로부터 측정된 벡터임을 강조하기 위한 것이다.]라 하면,
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1c1d1f><tablebordercolor=#fff,#1c1d1f> [math(\begin{aligned} I_{\rm CM}{\rm\,rad^2} &= \sum_{i=1}^n m_i({\bf r'}_i\bm\cdot{\bf r'}_i) \\ &= \sum_{i=1}^n m_i{{r'}_i}^2 \end{aligned})] ||
이때, 축을 [math(\rm CM)]으로부터 [math(\bf a)]만큼 평행이동한 회전축 [math(\rm II)]에서 측정된 관성 모멘트를 [math(I_{\rm P})]라 하자. 이때, 축으로부터 질점까지의 거리 벡터는 [math({\bf R'}_i = {\bf r'}_i-{\bf a})]가 된다. 따라서
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1c1d1f><tablebordercolor=#fff,#1c1d1f> [math(\begin{aligned} I_{\rm P}{\rm\,rad^2} &= \sum_{i=1}^nm_i({\bf R'}_i\bm\cdot{\bf R'}_i) \\ &= \sum_{i=1}^nm_i{\left\{({\bf r'}_i-{\bf a})\bm\cdot({\bf r'}_i-{\bf a})\right\}}\end{aligned})] ||
가 되고, 모든 항을 전개하는데 [math(\bf a)]는 상수 벡터(constant vector)이기에 합의 기호 밖으로 뺄 수 있으므로
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1c1d1f><tablebordercolor=#fff,#1c1d1f> [math(\displaystyle I_{\rm P}{\rm\,rad^2} = \sum_{i=1}^nm_i{{r'}_i}^2 + \sum_{i=1}^nm_ia^2 - 2{\bf a}\bm\cdot\sum_{i=1}^nm_i{\bf r'}_i)] ||
가 된다. 이때 제3항은 질량중심을 나타내는 벡터[*참고 총 질량이 [math(M)]인 질점계의 질량중심 벡터 [math(\bf M)]은 [math(\displaystyle {\bf M} \equiv \frac1M\sum_{i=1}^nm_i{\bf r'}_i)]이다.]와 관련된 것인데, [math({\bf r'}_i)]이 질량중심으로부터 측정된 벡터이기 때문에 제3항은 [math(0{\rm\,kg{\cdot}m^2})]이 된다. 따라서
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1c1d1f><tablebordercolor=#fff,#1c1d1f> [math(\displaystyle I_{\rm P}{\rm\,rad^2} = \sum_{i=1}^nm_i {{r'}_i}^2 + \sum_{i=1}^nm_ia^2)] ||
이고, 제1항은 위에서 구했던 [math(I_{\rm CM}\rm\,rad^2)]이고, 제2항의 [math(\displaystyle \sum_{i=1}^nm_i=M)]으로써 질점계의 총 질량이므로 다음이 성립한다.
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1c1d1f><tablebordercolor=#fff,#1c1d1f> [math(I_{\rm P} = I_{\rm CM} + Ma^2/{\rm rad^2})] ||
이 정리는 연속체에 대해서도 똑같은 방법으로 증명되므로 질점계 및 강체에 모두 적용할 수 있다.
=== 수직축 정리 ===
수직축 정리는 서로 수직한 세 회전축에 대한 관성 모멘트의 관계이다. [math(xy)]평면 위에 놓인 판 모양의 물체에 대해[* 모든 물체에 대해 성립하지는 않는다.], 서로 수직한 세개의 축을 각각 [math(x)]축, [math(y)]축, [math(z)]축이라 하고, 각각의 축에서 측정된 관성 모멘트를 각각 [math(I_x)], [math(I_y)], [math(I_z)]라 하자.
이때, 각 축에 대한 [math(i)]번째 질점까지의 거리를 [math(r_{ix})], [math(r_{iy})], [math(r_{iz})]라 놓으면, [math(n)]개의 질점계에 대해
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1c1d1f><tablebordercolor=#fff,#1c1d1f> [math(\displaystyle I_z = \sum_{i=1}^nm_i{r_{iz}}^2/\rm rad^2)] ||
이고, [[피타고라스 정리]]에 의해 [math({r_{iz}}^2 = {r_{ix}}^2 + {r_{iy}}^2)]이므로 다음이 성립한다.
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1c1d1f><tablebordercolor=#fff,#1c1d1f> [math(\begin{aligned} I_z{\rm\,rad^2} &= \sum_{i=1}^nm_i{\left({r_{ix}}^2 + {r_{iy}}^2\right)} \\ &= \sum_{i=1}^nm_i{r_{ix}}^2 + \sum_{i=1}^nm_i{r_{iy}}^2\end{aligned})] ||
이때, [math(\displaystyle\sum_{i=1}^nm_i{r_{ix}}^2/{\rm rad^2} \equiv I_x)], [math(\displaystyle\sum_{i=1}^nm_i{r_{iy}}^2/{\rm rad^2} \equiv I_y)]임에 따라 다음의 수직축 정리를 얻는다.
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1c1d1f><tablebordercolor=#fff,#1c1d1f> [math(I_z = I_x + I_y)] ||
이 정리는 연속체에 대해서도 똑같은 방법으로 증명되므로 질점계 및 강체에 모두 적용할 수 있다.
