| r4 ➤ r5 |
| 168 | |
| 169 | 1장 처음과 나중의 비율을 이용하여 정리 증명하기 |
| 170 | 보조정리 1 |
| 171 | 여러 개의 양(quantity) 또는 이들 사이의 비율이 임의의 유한한 시간 동안 연속적으로 변하면서 같은 값으로 접근한다고 하자. 주어진 시간이 끝나기 전에 이들 사이의 차이가 임의로 잡은 어떤 값보다도 작으면, 이들은 결국 같아진다. |
| 172 | |
| 173 | 만일 그렇지 않다면 이들은 최종적으로 각기 다른 값에 도달하게 된다. 그 차이를 D라고 하자. 그러면 이들의 차이는 어떤 시점에도 D보다 작아질 수 없고, 이것은 위의 가정에 위배된다. |
| 174 | |
| 175 | 보조정리 2 |
| 176 | 직선 Aa와 AE, 그리고 곡선 acE로 에워싸인 도형 AacE가 주어져 있다. 여기에 길이가 모두 같은 AB, BC, CD, …를 밑변으로 삼아 평행사변형 Ab, Bc, Cd, …를 작도하면(단 이들의 세로변 Bb, Cc, Dd, …는 Aa와 평행하며, 평행사변형의 개수에는 아무런 제한이 없다) 작은 평행사변형 aKbl, bLcm, cMdn, …이 완성된다. 이들의 가로(폭)를 점점 줄여가면서 개수를 무한정 늘이면 곡선 도형(원래의 도형)에 내접하는 도형 AKbLcMdD와 외접하는 도형 AalbmcndoE, 그리고 원래 도형 AabcdE는 면적이 같아진다. |
| 177 | |
| 178 | 내접하는 도형과 외접하는 도형의 면적은 작은 평행사변형 Kl, Lm, Mn, Do의 면적을 더한 값만큼 차이가 난다. 모든 평행사변형은 밑변의 길이가 같다고 했으므로, 작은 평행사변형의 면적을 더한 값은 밑변이 Kb이고 높이가 Aa인 직사각형 ABla의 면적과 같다(한 곳에 쌓았다고 생각하면 된다). 그런데 밑변 AB의 길이를 무한정 짧게 줄여나가면 ABla의 면적은 임의로 잡은 어떤 값보다 작아질 수 있다. 그러므로 (보조정리 1에 의해) 외접한 도형과 내접한 도형의 면적은 궁극적으로 같아지고, 이들의 중간값인 원래 도형의 면적도 같아진다. [Q.E.D.][* “이상이 증명되어야 할 내용이었다”는 뜻의 라틴어 “quod erat demonstrandum”의 약자.] |
| 179 | |
| 180 | 보조정리 3 |
| 181 | 평행사변형의 밑변 AB, BC, CD, …가 같지 않아도, 이들이 한없이 작아지면 내접 도형과 외접 도형, 그리고 곡선 도형의 면적은 궁극적으로 같아진다. |
| 182 | |
| 183 | 밑변 중 가장 긴 것을 AF라 하자. 그러면 평행사변형 FAaf의 면적은 내접하는 도형과 외접하는 도형의 면적 차이보다 크다. 그런데 AF가 무한정 작아지면 FAaf의 면적은 임의로 잡은 어떤 값보다 작아진다. [Q.E.D.] |
| 184 | |
| 185 | 부가정리 1 |
| 186 | 그러므로 무한히 작은 평행사변형의 면적을 모두 더한 값은 원래 도형의 면적과 같다. |
| 187 | |
| 188 | 부가정리 2 |
| 189 | 무한히 짧은 호 ab, bc, cd, …에 대응하는 현을 그었을 때, 이들을 윗변으로 갖는 사각형(사다리꼴)의 면적의 합은 궁극적으로 원래 도형의 면적과 같다. |
| 190 | |
| 191 | 부가정리 3 |
| 192 | 무한히 짧은 호 ab, bc, cd, …의 접선을 윗변으로 갖는 사각형의 면적의 합도 궁극적으로 원래 도형의 면적과 같다. |
| 193 | |
| 194 | 부가정리 4 |
| 195 | 그러므로 위에 언급한 현들은 궁극적으로 직선이 아니며, 곡선 acE에 무한정 가까워진다. |
| 196 | |
| 197 | 보조정리 4 |
| 198 | 2개의 도형 AacE와 PprT의 내부를 (다음의 경우와 같이) 같은 개수의 내접하는 평행사변형으로 가득 채웠다고 하자. 이들의 폭을 무한정 줄여나간다고 했을 때, 첫 번째 도형의 평행사변형과 두 번째 도형에서 이에 대응되는 평행사변형의 최종 면적이 모든 평행사변형에 대하여 동일하다면, AacE와 PprT는 면적이 같다. |
| 199 | |
| 200 | 두 도형에서 서로 대응하는 평행사변형의 면적이 모두 같으면 평행사변형의 면적을 모두 더한 값도 폭이 좁아질수록 같은 값에 수렴한다. 그런데 보조정리 3에 의해 AacE의 면적은 내부에 있는 평행사변형의 면적의 합과 같고 PprT의 면적도 그 내부에 있는 평행사변형의 면적의 합과 같으므로, 결국 AacE와 PprT의 면적은 같아진다. [Q.E.D.] |
| 201 | |
| 202 | 부가정리 |
| 203 | 종류 불문하고 임의의 두 양을 같은 개수로 무한정 작게 세분했을 때, 각 대응 구획 사이의 비율(첫 번째 구획끼리의 비율과 두 번째 구획끼리의 비율… 등)이 모두 같으면 두 양의 전체 비율도 이 비율과 같다. 왜 그런가? 두 양을 <그림 1-3>처럼 대응 비율이 모두 같은 평행사변형으로 세분했을 때, 세분된 양의 합의 비율은 평행사변형의 합의 비율과 같으므로 세분된 양과 평행사변형의 개수가 무수히 많고 크기가 무한정 작아져도, 세분된 양의 합의 비율은 여전히 평행사변형의 합의 비율과 같다. 따라서 (가정에 의해) 두 양의 비율은 각 대응 구획 사이의 비율과 같다. |
| 204 | |
| 205 | 보조정리 5 |
| 206 | 서로 닮음 관계에 있는 도형의 대응변(직선 또는 곡선)들은 길이 비율이 모두 같고, 면적 비율은 길이 비율의 제곱과 같다. |
| 207 | |
| 208 | 보조정리 6 |
| 209 | 임의로 주어진 매끄러운 호(곡률이 연속적으로 변하는 호) ACB와 이에 대응되는 현 AB가 있다. 현의 한쪽 끝 A에서 호에 접하는 직선을 AD라 하자. AD는 양쪽으로 길게 뻗어 있다. 이 상태에서 A와 B가 호를 따라 서로 가까워지다가 한 점에서 만나면, 현과 접선의 사잇각 BAD는 무한정 작아지다가 결국 0으로 사라진다. |
| 210 | |
| 211 | A와 B가 무한정 가까이 접근해도 ∠BAD가 0이 되지 않는다는 것은 호 ACB와 접선 AD가 A에서 유한한 각도를 형성한다는 뜻이다. 그런데 이는 곧 A 근방에서 곡률이 연속적이지 않다는 뜻이므로 가정에 위배된다. 그러므로 A와 B가 무한정 가까이 접근하면 ∠BAD는 0이 되어야 한다. |
| 212 | |
| 213 | 보조정리 7 |
| 214 | 위와 같은 가정에서 호와 현, 그리고 접선의 길이는 궁극적으로 같아진다. |
| 215 | |
| 216 | B가 A를 향해 접근하는 동안 AB와 AD를 연장한 선 위에 b와 d를 잡아서, B가 어느 위치에 있건 bd와 BD가 항상 평행하도록 유지하고, 호 ACB와 닮은꼴인 호 Acb를 그려보자. 점 A와 B가 하나로 합쳐지면 ∠dAb는 0으로 사라지고(보조정리 6 참조), 유한한 직선 Ab와 Ad가 하나로 합쳐지면서 그 사이에 낀 호 Acb도 이들과 같아진다. 그런데 직선 AB와 AD, 그리고 이들 사이에 낀 호 ACB는 각각 Ab, Ad, Acb와 항상 비례 관계에 있으므로 결국은 이들의 길이도 같아진다. [Q.E.D.] |
| 217 | |
| 218 | 부가정리 1 |
| 219 | B에서 A의 접선 AD에 평행하게 그은 선이 A를 지나는 임의의 직선과 만나는 점을 F라 하면, BF는 호 ACB와 동일한 비율로 짧아지다가 0으로 사라진다. 왜냐하면 평행사변형 AFDB에서 BF는 AD와 길이가 같기 때문이다. |
| 220 | |
| 221 | 부가정리 2 |
| 222 | A를 지나는 또 다른 직선 AF와 AG, 그리고 B를 지나는 또 다른 직선 BE, BD가 있고, BF가 접선 AD와 평행하면 (A와 B가 무한정 가까워질 때) AD, AE, BF, BG, 그리고 호 ACB와 현 AB의 길이는 궁극적으로 같아진다. |
| 223 | |
| 224 | 부가정리 3 |
| 225 | 그러므로 이들의 최종 비율을 논할 때는 어떤 것을 사용해도 상관없다. |
| 226 | |
| 227 | 보조정리 8 |
| 228 | 직선 AR과 BR, 호 ACB와 현 AB, 그리고 접선 AD를 조합하면 3개의 삼각형 RAB, RACB, RAD가 만들어진다.[* 이들 중 RACB는 삼각형이 아니라 부채꼴에 가깝다.] 여기서 A와 B가 가까워지면 3개의 삼각형은 점점 작아지면서 닮은꼴 도형에 접근하다가, A와 B가 한 점에서 만날 때 닮음비는 1:1이 된다(즉 3개의 삼각형이 완전히 같아진다). |
| 229 | |
| 230 | B가 A를 향해 접근하는 동안 직선 RD와 평행한 선이 AB, AD, AR의 연장선과 만나는 점을 각각 b, d, r이라 하고, 호 Acb는 B가 어느 위치에 있건 간에 항상 호 ACB와 닮은꼴을 유지한다고 하자. 이런 조건에서 A와 B가 만나면 ∠bAd는 0으로 사라지고, 크기가 유한한 3개의 삼각형 rAb, rAcb, rAd는 완전히 같아진다. 그런데 삼각형 RAB, RACB, RAD는 각각 rAb, rAcb, rAd와 닮은꼴이므로, 이들도 결국 동일한 삼각형으로 수렴한다. [Q.E.D.] |
| 231 | |
| 232 | 부가정리 |
| 233 | 그러므로 이 삼각형들의 최종 비율을 논할 때는 어떤 것을 사용해도 상관없다. |
| 234 | |
| 235 | 보조정리 9 |
| 236 | 직선 AE와 곡선 ABC가 특정 각도를 이루며 A에서 만나고, AE 선상에서 출발한 직선 BD와 CE가 각각 B, C에서 곡선 ABC와 만난다고 하자. 이제 B와 C가 곡선 위에서 동시에 A를 향해 무한정 가까이 접근하면, 삼각형 ABD와 ACE의 면적 비율은 대응변 길이의 제곱 비율과 같다.[* a와 b의 비율은 a:b이고, a와 b의 제곱 비율은 a²:b²이다.] |
| 237 | |
| 238 | B와 C가 A에 접근하는 동안 직선 AD를 e까지 연장하여 Ad와 Ae가 AD와 AE에 비례하도록 만들어보자. 그리고 d와 e에서 DB와 EC에 평행하도록 그은 직선이 AB, AC의 연장선과 만나는 점을 각각 b, c라 하자. 곡선 Abc는 ABC와 닮은꼴이며, A에서 이 두 곡선에 동시에 접하는 접선 Ag는 DB, EC, db, ec와 각각 F, G, f, g에서 만난다. Ae의 길이를 일정하게 유지한 상태에서 B, C가 A에 접근하면 ∠cAg는 0에 가까워지고, 곡선을 포함한 도형 Abd와 Ace의 면적은 각각 직선 도형 Afd, Age와 같아진다. 그러므로 이들의 면적 비율은 (보조정리 5에 의해) Ad와 Ae의 제곱 비율과 같다. 그런데 ABD와 ACE의 면적은 각각 Abe와 Ace의 면적에 비례하므로, 이들의 면적 비율은 AD와 AE의 제곱 비율과 같다. [Q.E.D.] |
| 239 | |
| 240 | 보조정리 10 |
| 241 | 물체가 힘을 받아 움직이기 시작하면 그 힘이 일정하건, 또는 점차 증가하건 감소하건 상관없이 운동 초기에 이동한 거리는 시간의 제곱에 비례한다. |
| 242 | |
| 243 | <그림 1-7>에서 AD와 AE가 시간을 나타내고, DB와 EC를 그 시간에 물체가 얻은 속도라 하자. 그러면 이 속도로 물체가 이동한 거리는 각각 ABD, ACE의 면적과 같다. 그러므로 운동 초기에 물체가 움직인 거리는 (보조정리 9에 의해) 시간 AD와 AE의 제곱 비율과 같다. [Q.E.D.] |
| 244 | |
| 245 | 부가정리 1 |
| 246 | 2개의 물체가 이동한 시간을 닮은꼴 도형의 대응변에 각각 대응시키면, 두 물체에 똑같은 힘이 가해졌을 때 닮은꼴 도형상에서 이들이 “진행한 거리”와 “힘이 작용하지 않았을 때 진행한 거리”의 차이는 힘이 작용한 시간의 제곱에 거의 정확하게 비례한다. |
| 247 | |
| 248 | 부가정리 2 |
| 249 | 닮은꼴 도형의 대응 부위에 비례하는 힘을 가했을 때, 이동 거리의 차이는 힘에 시간의 제곱을 곱한 양에 비례한다. |
| 250 | |
| 251 | 부가정리 3 |
| 252 | 물체에 어떤 종류의 힘이 가해지건 이동 거리는 이 관계를 만족한다. 즉 운동이 막 시작되었을 때 물체가 이동한 거리는 힘에 시간의 제곱을 곱한 양에 비례한다. |
| 253 | |
| 254 | 부가정리 4 |
| 255 | 그러므로 힘은 물체가 움직이기 시작했을 때 이동 거리에 비례하고, 시간의 제곱에 반비례한다. |
| 256 | |
| 257 | 부가정리 5 |
| 258 | 따라서 시간의 제곱은 이동 거리에 비례하고 힘에 반비례한다. |
| 259 | |
| 260 | 부가설명 |
| 261 | 2개의 양 A, B를 비교할 때 “A가 B에 비례한다”는 것은 A와 B가 동일한 비율로 증가(또는 감소)한다는 뜻이며, “A가 B에 반비례한다”는 것은 A가 B의 증가율의 역수와 같은 비율로 증가(또는 감소)한다는 뜻이다. 그리고 A가 2개 이상의 양(B, C, D…)에 비례한다는 것은 A의 변화율[* 증가율과 감소율을 통칭하는 용어.]이 B, C, D…의 변화율의 곱과 같다는 뜻이며, 반비례한다는 것은 A의 변화율이 B, C, D…의 변화율의 역수의 곱과 같다는 뜻이다. 예를 들어 A가 B와 C에 비례하고 D에 반비례한다면, A의 변화율은 B×C×1/D이다. 즉 A와 BC/D는 변화율이 같다. |
| 262 | |
| 263 | 보조정리 11 |
| 264 | 어떤 곡선이 직선과 접하는 곳에서 유한한 곡률을 가질 때,[* 간단히 말해서, 곡선에 뾰족하게 튀어나오거나 들어간 곳이 없다는 뜻이다.] 접촉각[* 곡선과 접선 사이의 각도.]을 마주 보는 선분의 길이 비율은 그에 대응되는 현의 길이의 제곱 비율과 같다. |
| 265 | |
| 266 | 사례 1 |
| 267 | <그림 1-8>에서 AB는 주어진 호, AD는 접선, BD는 접촉각(∠BAD)을 마주 보면서 접선에 수직한 선, 그리고 직선 AB는 호 AB에 대응하는 현이다. 현 AB에 수직한 선(BG)과 A에서 접선 AD에 수직하도록 그린 선(AG)이 만나는 점을 G라 하자. D, B, G는 각각 d, b, g를 향해 접근하고 있다. D와 B가 d, b를 지나 A에 무한정 가까워졌을 때, BG와 AG가 궁극적으로 만나는 점을 J라 하자. 그러면 GJ의 길이는 임의로 잡은 어떤 값보다 작아질 수 있다. 그리고 A, B, G를 포함하는 원과 A, b, g를 포함하는 원의 기하학적 성질에 의해 AB²은 AG×BD와 같고, Ab²은 Ag×bd와 같다.[* 삼각형 ABG와 삼각형 ABD는 닮은꼴이므로 AB:AG=BD:AB이며, 삼각형 Abg와 삼각형 Abd도 닮은꼴이므로 Ab:Ag=bd:Ab이다.] 즉, AB²과 Ab²의 비율은 AG×BD와 Ag×bd의 비율과 같다. 그런데 GJ는 임의로 잡은 어떤 값보다 작다고 했으므로 AG와 Ag의 비율은 1에 무한정 가까워지고, AB²:Ab²와 BD:bd의 차이는 임의로 잡은 어떤 값보다 작아진다. 그러므로 보조정리 1에 의해 AB²:Ab²의 궁극적인 값은 BD:bd와 같다. [Q.E.D.] |
| 268 | |
| 269 | 사례 2 |
| 270 | AD와 BD의 사잇각이 직각에서 벗어난 어떤 특정한 각도로 주어져도 BD와 bd의 비율은 항상 같으므로, 이 값은 AB²과 Ab²의 비율과 같다. [Q.E.D.] |
| 271 | |
| 272 | 사례 3 |
| 273 | ∠D가 특정 값으로 주어지지 않은 경우에도 직선 BD가 어떤 하나의 점으로 수렴하거나 다른 조건에 의해 결정되고, D와 d(동일한 규칙에 따라 결정된 점들)가 점점 가까워지면서 둘 사이의 거리가 임의로 잡은 값보다 작아진다면, 보조정리 1에 의해 BD와 bd의 최종 비율은 AB²과 Ab²의 비율과 같아진다. [Q.E.D.] |
| 274 | |
| 275 | 부가정리 1 |
| 276 | 그러므로 접선 AD와 Ad, 호 AB와 Ab, 그리고 이들의 사인(sine)에 해당하는 BC와 bc는 최종적으로 각각 현 AB, Ab와 같고, 이들의 제곱(AB²과 Ab²)은 각각 BD, bd와 같다. |
| 277 | |
| 278 | 부가정리 2 |
| 279 | 위에서 언급한 접선과 호, 그리고 sin(BC, bc)의 제곱은 현을 양분하면서 한 점으로 수렴하는 호의 버사인(versine)[* versinθ=1-cosθ=2sin²(θ/2).]에 비례한다. 왜냐하면 이 버사인은 현 BD와 bd에 비례하기 때문이다.[* 반지름이 1인 원에서 sinθ는 AC의 길이와 같으므로 AC를 그냥 “사인”이라 부른다. 그리고 AB는 1에서 cosθ를 뺀 값, 즉 1-cosθ와 같은데, 이 값을 간단히 줄여서 “버사인”이라 한다.][* 요즘은 삼각함수 사인, 코사인 등의 변수로 각도를 사용하고 있지만, 19세기까지는 각도가 아닌 호를 삼각함수의 변수로 사용했다. 따라서 구식으로 삼각함수를 정의하려면 호의 길이와 함께 반지름이 명시되어야 하는데, 문맥상 반지름이 명확한 경우에는 따로 명시되어 있지 않기 때문에 다소 혼란스럽다. 앞으로 삼각함수의 뜻이 모호한 경우에는 각주를 달아서 독자들의 이해를 도울 것이다.] |
| 280 | |
| 281 | 부가정리 3 |
| 282 | 그러므로 어떤 물체가 주어진 속도로 호를 그리며 움직일 때, 시간의 제곱은 버사인에 비례한다. |
| 283 | |
| 284 | 부가정리 4 |
| 285 | 삼각형 ADB와 Adb의 면적 비율은 AD×DB와 Ad×db의 비율과 같으므로, B와 D가 A에 무한정 가까워지면 이들의 면적 비율은 AD³과 Ad³의 비율과 같아지고, 이는 또 DB³/²와 db³/²의 비율과 같아진다. 또한 삼각형 ABC와 Abc의 면적 비율은 BC³과 bc³의 비율과 같다. |
| 286 | |
| 287 | 부가정리 5 |
| 288 | DB와 db는 궁극적으로 평행하면서 둘 사이의 비율은 AD²과 Ad²의 비율과 같으므로, 곡선을 포함한 도형 ADB와 Adb의 면적은 (포물선의 특성에 의해) 각각 삼각형 ADB와 Adb의 2/3가 되고, 활꼴 AB와 Ab[* 호와 현으로 에워싸인 도형.]의 면적은 각각 삼각형 ADB와 Adb의 1/3이 된다. 그러므로 두 활꼴의 면적 비율은 접선 AD와 ad의 세제곱 비율과 같고, 현 (또는 호) AB와 Ab의 세제곱 비율과도 같다. |
| 289 | |
| 290 | 부가설명 |
| 291 | 앞에서 우리는 곡선과 접선 사이의 접촉각이 원과 접선의 접촉각보다 무한히 크거나 작다고 가정하지 않았다. 이는 곧 점 A에서 곡선의 곡률이 무한히 크거나 작지 않다는 뜻이며, AJ의 길이가 유한하다는 뜻이기도 하다. DB가 AD³에 비례하면, 점 A를 지나면서 접선 AD와 곡선 AB 사이에 낀 원호를 그릴 수 없다. 즉 접선 AD와 곡선 AB 사이의 접촉각이 원과 접선의 접촉각보다 무한히 작아질 수 있다는 뜻이다. 그리고 이와 비슷한 논리에 의해, DB가 AD⁴ 또는 AD⁵, AD⁶, AD⁷, …등에 비례하면 접촉각은 지수가 클수록 더욱 작아진다(예를 들어 AD⁴에 비례하는 경우의 접촉각은 AD⁵에 비례하는 경우보다 무한히 작다). 또한 DB가 AD² 또는 AD³/², AD⁴/³, AD⁵/⁴, AD⁶/⁵, AD⁷/⁶, …등에 비례하도록 만들면 첫 번째 접촉각은 원의 접촉각과 같고, 두 번째는 이보다 무한히 크고, 세 번째, 네 번째…는 바로 전의 경우보다 무한히 크다. 이뿐만이 아니다. 위에 열거한 일련의 비례 인자들 중 임의로 2개를 골랐을 때, 그들 사이에도 무수히 많은 접촉각이 존재하며, 이들 중 하나의 접촉각은 그다음에 나오는 접촉각보다 무한히 작을 수 있다(또는 무한히 클 수도 있다). 예를 들어 AD²과 AD³ 사이에는 AD¹³/⁶, AD¹¹/⁵, AD⁹/⁴, AD⁷/³, AD⁵/², AD⁸/³, AD¹¹/⁴, AD¹⁴/⁵, AD¹⁷/⁶, … 등을 끼워 넣을 수 있으며, 이들 중 임의로 잡은 2개 사이에도 전후 사이에 무한대의 차이가 나는 접촉각이 무수히 많이 존재한다. 자연에는 한계가 없다. |
| 292 | |
| 293 | 곡선의 길이, 또는 평면 도형의 면적과 관련된 위의 증명은 휘어진 곡면이나 입체 도형에도 똑같이 적용된다. 고대의 기하학자들은 귀류법(reductio ad absurdum)[* 명제를 부정하여 얻은 결론이 가정이나 공리에 모순된다는 것을 보임으로써 주어진 명제가 참임을 증명하는 방법.]을 이용하여 이 사실을 증명했지만, 위에 열거한 보조정리를 이용하면 번거로운 과정을 생략할 수 있다. 무한소(indivisible)[* 더 이상 쪼갤 수 없을 정도로 무한히 작은 양.]의 개념을 도입하면 증명이 훨씬 간단해진다. 그러나 무한소는 기하학의 범위를 넘어선 개념이어서 아직 제대로 정립되지 않았기 때문에, 앞으로 다루게 될 증명은 무한히 작아지는 양의 최종 합과 비율, 그리고 처음 생성된 양의 초기 합과 비율을 다루는 방식으로 풀어나갈 것이다. 다시 말해서, 합과 비율의 극한을 이용하여 증명을 간소화하겠다는 뜻이다. 물론 무한소를 이용해도 동일한 결론이 내려진다. 우리는 앞에서 이와 관련된 보조정리를 여러 개 증명했으므로, 어떤 경우에도 안심하고 사용할 수 있다. 앞으로 작은 요소로 이루어진 양을 다루거나 직선 대신 아주 짧은 곡선을 다룰 때는 무한소 대신 “아주 작지만 쪼갤 수 있는 양”을 사용할 것이다. 이럴 때 독자들은 정해진 합과 비율 대신 “합과 비율의 극한”을 떠올려주기 바란다. |
| 294 | |
| 295 | 혹자는 “0으로 사라지는 양들 사이에 궁극적 비율이란 존재할 수 없다”고 생각할지도 모른다. 0에 도달하기 전에 취한 비율은 궁극적인 비율이 아니고, 0에 도달하면 비율 자체가 존재하지 않기 때문이다. 그러나 이런 식으로 따지면 특정 속도로 움직이던 물체가 특정 위치에서 멈췄을 때도 최종 속도는 존재할 수 없게 된다. 종착지에 도달하기 전의 속도는 최종 속도가 아니고, 종착지에 도달하여 멈추면 속도는 더 이상 존재하지 않기 때문이다.[* 속도는 이동 거리와 시간의 비율이다.] 이 문제를 어떻게 해결해야 할까? 다행히도 간단한 해결책이 있다. 움직이는 물체의 최종 속도란 목적지에 도달하기 전의 속도나 도달한 후의 속도가 아니라, 목적지에 도달하여 운동을 멈추는 바로 그 순간의 속도를 의미한다. 이와 마찬가지로 무한정 작아지는 양의 비율은 이들이 0으로 사라지기 전이나 사라진 후의 비율이 아니라, 0으로 사라지는 바로 그 순간의 비율이다. 이와 반대로 새로 생성되는 양의 비율은 생성되기 시작하는 순간의 비율로 이해하면 된다. 그리고 최초 합이나 최종 합은 이들이 처음 생성되거나 사라질 때(또는 증가하기 시작하거나 감소하기 시작할 때)의 비율을 의미한다. 물체가 움직일 때, 특정 속도에 가까이 접근할 수는 있지만 결코 넘을 수 없는 경우가 있다. 이것이 바로 한계 속도(또는 최종 속도)이다. 새로 생겨나거나 사라지는 양과 이들 사이의 비율에도 한계가 존재할 수 있다. 이 한계값을 결정하는 것은 기하학의 문제이기 때문에, 기하학적인 방법으로 풀어야 한다. |
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| 297 | 0으로 사라지는 양들의 궁극적인 비율을 알 수 있다면, 궁극적인 값도 구할 수 있지 않을까? 만일 그렇다면 모든 양은 더 이상 쪼갤 수 없는 최소 단위로 이루어져 있어야 하는데, 이것은 유클리드(Euclid)가 “잴 수 없는 양(incommensurable)”과 관련하여 《원론(Elements)》 제10권에서 제시한 증명에 위배된다. 그러나 이 반론은 틀린 가정에 기초하고 있다. 0으로 사라지는 양들 사이의 최종 비율은 최종적으로 도달한 값의 비율이 아니라(즉 0:0이 아니라) 0에 가까워지는 와중에 이들 사이의 비율이 접근하는 극한값을 의미한다. 이 극한값과 “극한으로 가고 있는” 현재 비율 사이의 차이는 임의로 잡은 어떤 값보다 작아질 수 있다. 그러나 비교 대상인 두 양이 무한히 작아지기 전에는 절대로 극한값에 도달할 수 없으며, 그 값을 넘어설 수도 없다. 무한히 큰 양을 생각하면 상황이 좀더 분명해진다. 차이가 고정되어 있는 2개의 양이 무한히 커진다면, 이들 사이의 최종 비율은 무조건 1:1이다. 그러나 최종 비율을 알고 있다고 해서 이들이 도달하게 될 최종 값까지 알 수 있는 것은 아니다. 앞으로 이 책에서는 독자들의 편의를 위해 “무한히 작다”거나 “0으로 사라진다”거나 “궁극적인 값”이라는 표현을 종종 사용하게 될 텐데, 이런 단어가 등장할 때마다 값이 정해진 작은 양을 떠올리지 말고, 특정 값에 무한정 가까워지는 양을 떠올려주기 바란다. |
