| r22 ➤ r23 |
| 134 | 수학은 어렵게, 과학은 쉽게 출제되었다. |
| 135 | |
| 136 | * 수학 문제 개수가 1개에서 2개로 늘어났다. |
| 137 | * 수학 1번에서는 삼각형의 결정 조건에 대해서 물어보았다. 특정 조건을 만족하는 삼각형을 '삼각근'이라고 하며 합동인 것은 같은 것으로 생각한다. |
| 138 | * 한 변의 길이가 [math(\sqrt 2)]이고 두 각이 30도, 45도인 삼각근의 개수와 둘레의 최댓값 |
| 139 | * 외접원의 반지름이 R, 외심에서 그은 수직이등분선의 최소 길이가 d일 때 삼각조건 |
| 140 | * R=6, d=[math(\sqrt 3)]일 때 최소 넓이 |
| 141 | * 삼각근이 유일해지는 R과 d의 관계 |
| 142 | * 수학 2번에서는 축이 x=2이고 원점을 지나는 꼭짓점 y좌표가 -100 이상 100 이하 정수인 랜덤한 이차함수에 대해서 특정 정수 y값을 지나는지 물어보았다. |
| 143 | * y=2 no, y=3 no 라면 y의 꼭짓점은? |
| 144 | * YES답변 받았을 때 이차함수 볼록 방향 알 수 있는 질문 정수의 범위는? |
| 145 | * 10회 이내로 질문해서 Y 꼭짓점 알 수 있는 전략은? |
| 146 | * 과학에서는 1,2,3번이 각각 물리, 지구과학, 생명과학 부문에서 나왔다. |
| 147 | * 빨간색 조명과 초록색 조명이 하얀판에 비취지는데 공이 매달려 있다. 빨간 조명의 반그림자와 초록 조명의 반그림자만 겹칠 때 초록색 본그림자 영역 A, 초록색 반그림자 영역 B, 초록색과 빨간색 반그림자 영역 C 구하기 |
| 148 | * P에서 반그림자, Q에서 본그림자가 나타남. P, Q에서 나타나는 현상 이름과 Q의 위치와 순서 |
| 149 | * 구강으로 먹는 제약품 만들기. 어떤 환경에서 넣을 효소랑 약의 조건, 일정 시간, 신체 내 반응 등 |
| 150 | * 인성 질문에서는 친구가 다른 연구 조를 베끼자고 했을 때 나의 대처에 대해서 물어보았다. |
| 151 | 수학은 2025학년도와 달리 2문항으로 구성되었고, 도형 문항과 이차함수 추론 문항이 출제되었다. 과학은 빛의 합성, 일식, 소화와 약물 흡수, 연구 윤리를 묻는 문항으로 구성되었다. |
| 152 | |
| 153 | ===제 1 문항지 해설=== |
| 154 | ||<tablealign=center><table width=700><nopad> [[파일:26년도3차1.jpg|width=100%]] || |
| 155 | || 제 1 문항지 || |
| 156 | |
| 157 | ====평가문항 1==== |
| 158 | |
| 159 | > 삼각형에 대한 조건이 담긴 문장을 삼각조건이라 하고, 이를 만족시키는 삼각형을 삼각근이라 하자. 서로 합동인 두 삼각근은 같은 것으로 보고 서로 구별하지 않는다.[br] |
| 160 | > 또한 삼각형의 외심 [math(O)]에서 세 변에 내린 수선의 발을 각각 [math(H_1)], [math(H_2)], [math(H_3)]이라 할 때, 세 선분 [math(OH_1)], [math(OH_2)], [math(OH_3)]의 길이 중 최솟값을 삼각형의 외심거리라 하자. |
| 161 | |
| 162 | =====1번===== |
| 163 | > 한 변의 길이가 [math(\sqrt2)]이고, 두 내각의 크기가 각각 [math(30^\circ)], [math(45^\circ)]인 삼각조건의 삼각근의 개수와, 각 삼각근의 둘레 중 최댓값을 말하시오. |
| 164 | |
| 165 | 두 내각이 [math(30^\circ)], [math(45^\circ)]이므로 나머지 한 각은 |
| 166 | |
| 167 | [math(180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ)] |
| 168 | |
| 169 | 이다. 따라서 삼각형의 세 각은 |
| 170 | |
| 171 | [math(30^\circ,\ 45^\circ,\ 105^\circ)] |
| 172 | |
| 173 | 로 정해진다. |
| 174 | |
| 175 | 세 각이 모두 다르므로 세 변의 길이도 모두 다르다. 주어진 길이 [math(\sqrt2)]인 변은 [math(30^\circ)]의 맞은편 변, [math(45^\circ)]의 맞은편 변, [math(105^\circ)]의 맞은편 변 중 하나가 될 수 있다. 이 세 경우는 서로 닮음비가 다르므로 서로 합동이 아니다. |
| 176 | |
| 177 | 따라서 삼각근의 개수는 [math(3)]개이다. |
| 178 | |
| 179 | 이제 둘레의 최댓값을 구한다. 각이 [math(105^\circ)]인 꼭짓점에서 맞은편 변에 수선을 내리고, 그 수선의 길이를 [math(h)]라 하자. |
| 180 | |
| 181 | 그러면 한쪽에는 [math(30^\circ-60^\circ-90^\circ)] 직각삼각형이 생기고, 다른 한쪽에는 [math(45^\circ-45^\circ-90^\circ)] 직각삼각형이 생긴다. |
| 182 | |
| 183 | [math(30^\circ-60^\circ-90^\circ)] 직각삼각형에서 수선 [math(h)]는 [math(30^\circ)]의 맞은편 변이다. 따라서 빗변은 [math(2h)]이고, 나머지 한 직각변은 [math(\sqrt3h)]이다. |
| 184 | |
| 185 | [math(45^\circ-45^\circ-90^\circ)] 직각삼각형에서는 두 직각변의 길이가 같으므로 각각 [math(h)]이고, 빗변은 [math(\sqrt2h)]이다. |
| 186 | |
| 187 | 따라서 원래 삼각형의 세 변의 길이는 |
| 188 | |
| 189 | [math(2h,\ \sqrt2h,\ (\sqrt3+1)h)] |
| 190 | |
| 191 | 이다. |
| 192 | |
| 193 | 이 중 가장 짧은 변은 [math(\sqrt2h)]이다. 둘레는 [math(h)]에 비례하므로, 주어진 길이 [math(\sqrt2)]가 가장 짧은 변에 해당할 때 [math(h)]가 가장 커지고 둘레도 최대가 된다. |
| 194 | |
| 195 | 따라서 |
| 196 | |
| 197 | [math(\sqrt2h=\sqrt2)] |
| 198 | |
| 199 | 이므로 [math(h=1)]이다. 이때 세 변의 길이는 |
| 200 | |
| 201 | [math(\sqrt2,\ 2,\ \sqrt3+1)] |
| 202 | |
| 203 | 이고, 둘레는 |
| 204 | |
| 205 | [math(\sqrt2+2+(\sqrt3+1)=3+\sqrt2+\sqrt3)] |
| 206 | |
| 207 | 이다. |
| 208 | |
| 209 | 따라서 정답은 |
| 210 | |
| 211 | [math(\boxed{3\text{개},\ 3+\sqrt2+\sqrt3})] |
| 212 | |
| 213 | 이다. |
| 214 | |
| 215 | =====2-1번===== |
| 216 | > 외접원의 반지름의 길이가 [math(R)]이고, 외심거리가 [math(d)]인 예각삼각형에 대하여 [math(R=6)], [math(d=\sqrt3)]일 때, 삼각근의 넓이 중 최솟값을 말하시오. |
| 217 | |
| 218 | 외접원의 중심을 [math(O)]라 하자. 외접원의 반지름은 [math(6)]이다. |
| 219 | |
| 220 | 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분한다. 따라서 외심에서 어떤 변까지의 거리를 [math(x)]라 하면, 그 변의 길이의 절반은 피타고라스 정리에 의해 |
| 221 | |
| 222 | [math(\sqrt{6^2-x^2})] |
| 223 | |
| 224 | 이다. 그러므로 그 변의 길이는 |
| 225 | |
| 226 | [math(2\sqrt{36-x^2})] |
| 227 | |
| 228 | 이다. |
| 229 | |
| 230 | 따라서 외심에서 변까지의 거리가 작을수록 그 변의 길이는 길다. |
| 231 | |
| 232 | 외심거리가 [math(\sqrt3)]이라는 것은 세 변까지의 거리 중 최솟값이 [math(\sqrt3)]이라는 뜻이다. 그러므로 외심에서 거리가 [math(\sqrt3)]인 변이 가장 긴 변이다. 그 변의 길이는 |
| 233 | |
| 234 | [math(2\sqrt{36-(\sqrt3)^2}=2\sqrt{33})] |
| 235 | |
| 236 | 이다. |
| 237 | |
| 238 | 이 변을 [math(AB)]라 하자. [math(AB)]의 중점을 [math(H)]라 하면 좌표를 다음과 같이 둘 수 있다. |
| 239 | |
| 240 | [math(A=(-\sqrt{33},0),\quad B=(\sqrt{33},0),\quad H=(0,0))] |
| 241 | |
| 242 | 외심 [math(O)]는 [math(AB)]의 수직이등분선 위에 있고, [math(AB)]까지의 거리가 [math(\sqrt3)]이므로 |
| 243 | |
| 244 | [math(O=(0,\sqrt3))] |
| 245 | |
| 246 | 으로 둘 수 있다. |
| 247 | |
| 248 | 세 번째 꼭짓점을 |
| 249 | |
| 250 | [math(C=(t,y))] |
| 251 | |
| 252 | 라 하자. 예각삼각형의 외심은 삼각형의 내부에 있으므로 [math(C)]와 [math(O)]는 직선 [math(AB)]에 대하여 같은 쪽에 있다. 따라서 [math(y>0)]이다. |
| 253 | |
| 254 | 이때 삼각형의 넓이 [math(S)]는 |
| 255 | |
| 256 | [math(S=\frac12\cdot AB\cdot y=\frac12\cdot 2\sqrt{33}\cdot y=\sqrt{33}y)] |
| 257 | |
| 258 | 이다. 따라서 넓이를 최소로 하려면 [math(y)]의 최솟값을 구하면 된다. |
| 259 | |
| 260 | 점 [math(C)]는 외접원 위에 있으므로 |
| 261 | |
| 262 | [math(t^2+(y-\sqrt3)^2=36)] |
| 263 | |
| 264 | 이다. 이를 정리하면 |
| 265 | |
| 266 | [math(t^2+y^2=33+2\sqrt3y)] …… ① |
| 267 | |
| 268 | 이다. |
| 269 | |
| 270 | 한편 [math(AB)]는 외심에서 거리가 [math(\sqrt3)]인 변이므로 가장 긴 변이다. 만약 [math(AC)] 또는 [math(BC)]가 [math(AB)]보다 길다면 그 변은 외심에서 [math(AB)]보다 더 가까운 현이 되어 외심거리가 [math(\sqrt3)]보다 작아진다. 이는 조건에 맞지 않는다. |
| 271 | |
| 272 | 따라서 |
| 273 | |
| 274 | [math(AC\le 2\sqrt{33},\quad BC\le 2\sqrt{33})] |
| 275 | |
| 276 | 이다. |
| 277 | |
| 278 | 먼저 |
| 279 | |
| 280 | [math(AC^2=(t+\sqrt{33})^2+y^2)] |
| 281 | |
| 282 | 이므로 |
| 283 | |
| 284 | [math((t+\sqrt{33})^2+y^2\le (2\sqrt{33})^2)] |
| 285 | |
| 286 | 이다. 전개하면 |
| 287 | |
| 288 | [math(t^2+y^2+2\sqrt{33}t+33\le132)] |
| 289 | |
| 290 | 이고, ①을 대입하면 |
| 291 | |
| 292 | [math(66+2\sqrt3y+2\sqrt{33}t\le132)] |
| 293 | |
| 294 | 이다. 따라서 |
| 295 | |
| 296 | [math(\sqrt3y+\sqrt{33}t\le33)] …… ② |
| 297 | |
| 298 | 이다. |
| 299 | |
| 300 | 마찬가지로 |
| 301 | |
| 302 | [math(BC^2=(t-\sqrt{33})^2+y^2)] |
| 303 | |
| 304 | 이므로 |
| 305 | |
| 306 | [math((t-\sqrt{33})^2+y^2\le (2\sqrt{33})^2)] |
| 307 | |
| 308 | 이다. 전개하고 ①을 대입하면 |
| 309 | |
| 310 | [math(66+2\sqrt3y-2\sqrt{33}t\le132)] |
| 311 | |
| 312 | 이고, 따라서 |
| 313 | |
| 314 | [math(\sqrt3y-\sqrt{33}t\le33)] …… ③ |
| 315 | |
| 316 | 이다. |
| 317 | |
| 318 | ②, ③이 동시에 성립하므로 |
| 319 | |
| 320 | [math(\sqrt{33}|t|\le 33-\sqrt3y)] |
| 321 | |
| 322 | 이다. 양변을 제곱하면 |
| 323 | |
| 324 | [math(33t^2\le (33-\sqrt3y)^2)] |
| 325 | |
| 326 | 이다. |
| 327 | |
| 328 | 그런데 ①에서 |
| 329 | |
| 330 | [math(t^2=33+2\sqrt3y-y^2)] |
| 331 | |
| 332 | 이므로 |
| 333 | |
| 334 | [math(33(33+2\sqrt3y-y^2)\le(33-\sqrt3y)^2)] |
| 335 | |
| 336 | 이다. 양변을 정리하면 |
| 337 | |
| 338 | [math(132\sqrt3y\le36y^2)] |
| 339 | |
| 340 | 이다. [math(y>0)]이므로 [math(y)]로 나누면 |
| 341 | |
| 342 | [math(y\ge\frac{11}{\sqrt3})] |
| 343 | |
| 344 | 이다. |
| 345 | |
| 346 | 따라서 넓이 [math(S)]는 |
| 347 | |
| 348 | [math(S=\sqrt{33}y\ge\sqrt{33}\cdot\frac{11}{\sqrt3}=11\sqrt{11})] |
| 349 | |
| 350 | 이다. |
| 351 | |
| 352 | 이제 등호가 실제로 성립하는지 확인한다. 예를 들어 |
| 353 | |
| 354 | [math(t=\frac{2\sqrt{33}}3,\quad y=\frac{11}{\sqrt3})] |
| 355 | |
| 356 | 로 두면 [math(C)]는 외접원 위의 점이고, |
| 357 | |
| 358 | [math(AC^2=132,\quad AB^2=132,\quad BC^2=44)] |
| 359 | |
| 360 | 가 된다. 즉 |
| 361 | |
| 362 | [math(AB=AC=2\sqrt{33},\quad BC=2\sqrt{11})] |
| 363 | |
| 364 | 이다. 가장 긴 변의 제곱 [math(132)]는 나머지 두 변의 제곱의 합보다 작으므로 이 삼각형은 예각삼각형이다. 또한 두 긴 변의 외심까지의 거리가 [math(\sqrt3)]이므로 외심거리 조건도 만족한다. |
| 365 | |
| 366 | 따라서 넓이의 최솟값은 |
| 367 | |
| 368 | [math(\boxed{11\sqrt{11}})] |
| 369 | |
| 370 | 이다. |
| 371 | |
| 372 | =====2-2번===== |
| 373 | > 외접원의 반지름의 길이가 [math(R)]이고, 외심거리가 [math(d)]인 예각삼각형이 유일하게 존재할 때, [math(R)]과 [math(d)]의 관계식을 말하시오. |
| 374 | |
| 375 | 외접원의 중심을 [math(O)], 반지름을 [math(R)]이라 하자. |
| 376 | |
| 377 | 삼각형의 세 꼭짓점은 외접원 위에 있다. 세 꼭짓점은 원을 세 호로 나누고, 그 세 호에 대한 중심각의 합은 [math(360^\circ)]이다. |
| 378 | |
| 379 | 예각삼각형에서는 세 변이 모두 지름이 아니므로, 세 호에 대한 중심각은 모두 [math(180^\circ)]보다 작다. |
| 380 | |
| 381 | 세 중심각의 합이 [math(360^\circ)]이므로 그중 적어도 하나는 [math(120^\circ)] 이상이다. |
| 382 | |
| 383 | 반지름이 같은 원에서 중심각이 클수록 그 현은 길고, 중심에서 그 현까지의 거리는 짧다. 중심각이 [math(120^\circ)]인 현에 대해 중심에서 현에 수선을 내리면, 반지름과 수선으로 이루어진 직각삼각형은 [math(30^\circ-60^\circ-90^\circ)] 직각삼각형이 된다. 따라서 중심에서 그 현까지의 거리는 |
| 384 | |
| 385 | [math(\frac R2)] |
| 386 | |
| 387 | 이다. |
| 388 | |
| 389 | 그러므로 예각삼각형의 외심거리 [math(d)]는 항상 |
| 390 | |
| 391 | [math(d\le \frac R2)] |
| 392 | |
| 393 | 를 만족한다. |
| 394 | |
| 395 | 이제 삼각근이 유일한 경우를 따진다. |
| 396 | |
| 397 | 만약 |
| 398 | |
| 399 | [math(d=\frac R2)] |
| 400 | |
| 401 | 라면 세 변 중 어느 것도 외심에서 [math(\frac R2)]보다 가까울 수 없다. 따라서 세 중심각 중 어느 것도 [math(120^\circ)]보다 클 수 없다. 그런데 세 중심각의 합은 [math(360^\circ)]이므로 세 중심각은 모두 |
| 402 | |
| 403 | [math(120^\circ,\ 120^\circ,\ 120^\circ)] |
| 404 | |
| 405 | 이어야 한다. |
| 406 | |
| 407 | 따라서 삼각형은 정삼각형이다. 외접원의 반지름이 [math(R)]인 정삼각형은 합동을 제외하면 하나뿐이므로, 이 경우 삼각근은 유일하다. |
| 408 | |
| 409 | 반대로 [math(d<\frac R2)]라 하자. 외심거리 [math(d)]에 해당하는 가장 긴 현 하나를 고정하면, 그 현에 대한 중심각은 [math(120^\circ)]보다 크고 [math(180^\circ)]보다 작다. |
| 410 | |
| 411 | 남은 두 중심각의 합은 정해져 있지만, 그 합을 두 각으로 나누는 방법은 하나뿐이 아니다. 예를 들어 두 중심각을 같게 나눌 수도 있고, 조금 다르게 나눌 수도 있다. 그 차이를 충분히 작게 잡으면 두 중심각은 모두 [math(180^\circ)]보다 작고, 고정한 중심각보다 작게 유지된다. |
| 412 | |
| 413 | 그러면 외접원의 반지름은 그대로 [math(R)]이고, 가장 긴 현까지의 거리는 그대로 [math(d)]이므로 외심거리도 [math(d)]이다. 그러나 두 중심각의 나누는 방법이 달라졌으므로 만들어지는 삼각형들은 서로 합동이 아니다. |
| 414 | |
| 415 | 따라서 [math(d<\frac R2)]일 때 삼각근은 유일하지 않다. |
| 416 | |
| 417 | 결국 삼각근이 유일하게 존재하려면 정삼각형인 경우뿐이므로 |
| 418 | |
| 419 | [math(\boxed{d=\frac R2})] |
| 420 | |
| 421 | 이다. |
| 422 | |
| 423 | ====평가문항 2==== |
| 424 | |
| 425 | > 플레이어가 컴퓨터를 이용하여 꼭짓점의 [math(y)]좌표를 맞히는 게임을 한다. 게임을 시작하면 다음 조건을 모두 만족시키는 이차함수의 그래프가 무작위로 정해진다.[br] |
| 426 | > ① 점 [math((0,0))]을 지난다.[br] |
| 427 | > ② 축은 직선 [math(x=2)]이다.[br] |
| 428 | > ③ 꼭짓점의 [math(y)]좌표는 [math(-100)] 이상 [math(100)] 이하인 정수이다.[br] |
| 429 | > 플레이어가 정수 [math(n)]을 입력하면, 그래프 위의 점 중 [math(y)]값이 [math(n)]인 점이 존재할 때 “예”, 존재하지 않을 때 “아니요”가 출력된다. |
| 430 | |
| 431 | 먼저 가능한 이차함수의 형태를 정리한다. 꼭짓점의 [math(y)]좌표를 [math(v)]라 하면, 축이 [math(x=2)]이므로 이차함수는 |
| 432 | |
| 433 | [math(y=a(x-2)^2+v)] |
| 434 | |
| 435 | 꼴이다. |
| 436 | |
| 437 | 그래프가 [math((0,0))]을 지나므로 |
| 438 | |
| 439 | [math(0=4a+v)] |
| 440 | |
| 441 | 이고, |
| 442 | |
| 443 | [math(a=-\frac v4)] |
| 444 | |
| 445 | 이다. |
| 446 | |
| 447 | 따라서 [math(v>0)]이면 [math(a<0)]이다. 이때 그래프는 위로 볼록하고, 꼭짓점의 [math(y)]좌표 [math(v)]는 최댓값이다. |
| 448 | |
| 449 | 반대로 [math(v<0)]이면 [math(a>0)]이다. 이때 그래프는 아래로 볼록하고, 꼭짓점의 [math(y)]좌표 [math(v)]는 최솟값이다. |
| 450 | |
| 451 | 또 [math(v=0)]이면 [math(a=0)]이 되어 이차함수가 아니므로 제외된다. |
| 452 | |
| 453 | 따라서 가능한 [math(v)]는 |
| 454 | |
| 455 | [math(-100,-99,\cdots,-1,1,\cdots,99,100)] |
| 456 | |
| 457 | 이다. |
| 458 | |
| 459 | =====1번===== |
| 460 | > 게임을 시작하고 탐색을 2회 시행하여 [math(3\to\text{아니요})], [math(2\to\text{아니요})]가 출력된 뒤 게임을 클리어하였다. 이때 꼭짓점의 [math(y)]좌표 ㉠의 값을 말하시오. |
| 461 | |
| 462 | 만약 [math(v<0)]이면 그래프는 아래로 볼록하고, [math(v)]는 최솟값이다. 이때 [math(v)]는 음수이므로 [math(2)]와 [math(3)]은 모두 최솟값보다 큰 값이다. 따라서 그래프 위에는 [math(y=2)]인 점도 있고 [math(y=3)]인 점도 있어야 한다. 즉 두 탐색 모두 “예”가 나와야 한다. |
| 463 | |
| 464 | 하지만 실제로는 두 탐색 모두 “아니요”가 나왔다. 따라서 [math(v<0)]은 불가능하다. |
| 465 | |
| 466 | 그러므로 [math(v>0)]이다. 이때 그래프는 위로 볼록하고, [math(v)]는 최댓값이다. [math(2)]를 입력했을 때 “아니요”가 나왔으므로 그래프 위에는 [math(y=2)]인 점이 없다. 즉 |
| 467 | |
| 468 | [math(2>v)] |
| 469 | |
| 470 | 이다. |
| 471 | |
| 472 | [math(v)]는 양의 정수이므로 |
| 473 | |
| 474 | [math(v=1)] |
| 475 | |
| 476 | 이다. |
| 477 | |
| 478 | 따라서 ㉠의 값은 |
| 479 | |
| 480 | [math(\boxed{1})] |
| 481 | |
| 482 | 이다. |
| 483 | |
| 484 | =====2번===== |
| 485 | > 게임을 시작하고 탐색을 1회 시행하여 “예”가 출력되었다. 이 결과만으로 그래프가 위로 볼록한지 아래로 볼록한지 결정할 수 있다고 할 때, 해당 탐색에서 입력할 수 있는 정수의 범위를 말하시오. |
| 486 | |
| 487 | [math(v>0)]이면 그래프는 위로 볼록하고, 꼭짓점의 [math(y)]좌표 [math(v)]가 최댓값이다. 이때 |
| 488 | |
| 489 | [math(1\le v\le100)] |
| 490 | |
| 491 | 이므로 그래프에 나타나는 [math(y)]값은 [math(100)]보다 클 수 없다. |
| 492 | |
| 493 | 따라서 [math(n\ge101)]을 입력했는데 “예”가 출력되었다면, 그래프는 위로 볼록한 경우가 아니다. 이 경우는 반드시 [math(v<0)]인 경우, 즉 아래로 볼록한 경우이다. |
| 494 | |
| 495 | 반대로 [math(v<0)]이면 그래프는 아래로 볼록하고, 꼭짓점의 [math(y)]좌표 [math(v)]가 최솟값이다. 이때 |
| 496 | |
| 497 | [math(-100\le v\le -1)] |
| 498 | |
| 499 | 이므로 그래프에 나타나는 [math(y)]값은 [math(-101)] 이하가 될 수 없다. |
| 500 | |
| 501 | 따라서 [math(n\le -101)]을 입력했는데 “예”가 출력되었다면, 그래프는 아래로 볼록한 경우가 아니다. 이 경우는 반드시 [math(v>0)]인 경우, 즉 위로 볼록한 경우이다. |
| 502 | |
| 503 | 이제 다른 정수에서는 볼록 방향을 결정할 수 없음을 확인한다. |
| 504 | |
| 505 | [math(1\le n\le100)]이면 [math(v\ge n)]인 위로 볼록 그래프에서도 “예”가 나올 수 있고, [math(v<0)]인 아래로 볼록 그래프에서도 “예”가 나온다. 따라서 볼록 방향을 결정할 수 없다. |
| 506 | |
| 507 | [math(-100\le n\le -1)]이면 [math(v>0)]인 위로 볼록 그래프에서도 “예”가 나오고, [math(v\le n)]인 아래로 볼록 그래프에서도 “예”가 나올 수 있다. 따라서 볼록 방향을 결정할 수 없다. |
| 508 | |
| 509 | [math(n=0)]이어도 모든 그래프가 [math((0,0))]을 지나므로 위로 볼록인 경우와 아래로 볼록인 경우 모두 “예”가 나온다. 따라서 볼록 방향을 결정할 수 없다. |
| 510 | |
| 511 | 그러므로 가능한 정수의 범위는 |
| 512 | |
| 513 | [math(\boxed{n\le -101\ \text{또는}\ n\ge101})] |
| 514 | |
| 515 | 이다. |
| 516 | |
| 517 | 단, [math(n\le -101)]에서 “예”가 나오면 위로 볼록이고, [math(n\ge101)]에서 “예”가 나오면 아래로 볼록이다. |
| 518 | |
| 519 | =====3번===== |
| 520 | > 플레이어가 탐색을 [math(10)]회 미만으로 시행하여 게임을 항상 클리어할 전략이 존재하는지 설명하시오. |
| 521 | |
| 522 | 존재한다. 최대 [math(8)]회의 탐색으로 항상 클리어할 수 있다. |
| 523 | |
| 524 | 먼저 [math(n=101)]을 입력한다. |
| 525 | |
| 526 | [math(v>0)]이면 그래프는 위로 볼록이고, 최댓값 [math(v)]는 최대 [math(100)]이다. 따라서 그래프 위에는 [math(y=101)]인 점이 존재하지 않는다. 이 경우 “아니요”가 출력된다. |
| 527 | |
| 528 | [math(v<0)]이면 그래프는 아래로 볼록이고, [math(v)]는 최솟값이다. 따라서 [math(101)]은 최솟값보다 큰 값이므로 그래프 위에 [math(y=101)]인 점이 존재한다. 이 경우 “예”가 출력된다. |
| 529 | |
| 530 | 즉 첫 번째 탐색으로 [math(v)]의 부호를 알 수 있다. |
| 531 | |
| 532 | 첫 번째 탐색 후 남은 후보는 |
| 533 | |
| 534 | [math(v=1,2,\cdots,100)] |
| 535 | |
| 536 | 또는 |
| 537 | |
| 538 | [math(v=-1,-2,\cdots,-100)] |
| 539 | |
| 540 | 중 하나이다. 즉 후보는 [math(100)]개이다. |
| 541 | |
| 542 | 후보가 [math(100)]개이면 이분 탐색으로 찾을 수 있다. 한 번의 탐색 결과는 “예” 또는 “아니요” 두 가지이므로, 매번 후보를 거의 절반씩 줄인다. |
| 543 | |
| 544 | [math(v>0)]임을 알았을 때는 [math(1)]부터 [math(100)] 사이에서 찾는다. 정수 [math(m)]을 입력하면 “예”는 [math(v\ge m)]을 뜻하고, “아니요”는 [math(v<m)]을 뜻한다. |
| 545 | |
| 546 | [math(v<0)]임을 알았을 때는 [math(k=-v)]로 두고 [math(k=1,2,\cdots,100)] 사이에서 찾는다. 정수 [math(-m)]을 입력하면 “예”는 [math(k\ge m)]을 뜻하고, “아니요”는 [math(k<m)]을 뜻한다. |
| 547 | |
| 548 | [math(2^7=128\ge100)] |
| 549 | |
| 550 | 이므로 [math(7)]회의 탐색이면 남은 [math(100)]개의 후보를 구별할 수 있다. |
| 551 | |
| 552 | 따라서 전체 탐색 횟수는 |
| 553 | |
| 554 | [math(1+7=8)] |
| 555 | |
| 556 | 회이다. [math(8<10)]이므로 [math(10)]회 미만으로 항상 클리어할 전략이 존재한다. |
| 557 | |
| 558 | ===제 2 문항지 해설=== |
| 559 | ||<tablealign=center><table width=700><nopad> [[파일:26년도3차2.jpg|width=100%]] || |
| 560 | || 제 2 문항지 || |
| 561 | |
| 562 | ====평가문항 1==== |
| 563 | |
| 564 | > 빨간색 빛과 초록색 빛을 합성할 때 두 빛의 상대적 밝기에 따른 합성된 빛의 색은 다음과 같다.[br] |
| 565 | > 빨간색 빛 : 초록색 빛 = [math(1:2)]이면 연두색, [math(1:1)]이면 노란색, [math(2:1)]이면 주황색이다.[br] |
| 566 | > 빨간색 빛과 초록색 빛을 방출하는 광원과 흰색 스크린 사이에 동전을 매달아 놓았더니, 스크린에 그림자가 형성되었다. 두 광원의 밝기는 서로 같고, 각 광원이 스크린에 형성한 본그림자와 반그림자의 모양과 크기는 같다. |
| 567 | |
| 568 | =====1번===== |
| 569 | > 그림 2의 [math(A)]~[math(C)]에 나타난 색과 그렇게 생각한 이유를 각각 과학적으로 설명하시오. 단, 빛의 직진성만 고려한다. |
| 570 | |
| 571 | 빨간색 광원은 왼쪽에 있고, 초록색 광원은 오른쪽에 있다. 빛은 직진하므로 왼쪽에 있는 빨간색 광원이 만드는 그림자는 스크린의 오른쪽에 생기고, 오른쪽에 있는 초록색 광원이 만드는 그림자는 스크린의 왼쪽에 생긴다. |
| 572 | |
| 573 | 따라서 그림 2의 왼쪽 그림자 영역은 초록색 빛이 가려진 영역이고, 오른쪽 그림자 영역은 빨간색 빛이 가려진 영역이다. |
| 574 | |
| 575 | [math(A)]는 왼쪽 본그림자 영역에 있다. 이 영역에서는 초록색 빛이 완전히 가려지고 빨간색 빛만 도달한다. 따라서 [math(A)]는 빨간색이다. |
| 576 | |
| 577 | [math(B)]는 왼쪽 반그림자 영역에 있다. 이 영역에서는 초록색 빛이 일부만 가려지고, 빨간색 빛은 도달한다. 따라서 빨간색 빛이 초록색 빛보다 상대적으로 강하다. 표에서 빨간색 빛과 초록색 빛의 상대적 밝기가 [math(2:1)]이면 합성된 빛의 색은 주황색이다. 따라서 [math(B)]는 주황색이다. |
| 578 | |
| 579 | [math(C)]는 두 반그림자 영역이 겹치는 곳에 있다. 두 광원의 밝기는 서로 같고, 각 광원이 만드는 본그림자와 반그림자의 모양과 크기도 같다. 따라서 [math(C)]에서는 빨간색 빛과 초록색 빛이 같은 정도로 약해져 도달한다. |
| 580 | |
| 581 | 그러므로 두 빛의 상대적 밝기는 [math(1:1)]이고, 표에 의해 합성된 빛의 색은 노란색이다. 따라서 [math(C)]는 노란색이다. |
| 582 | |
| 583 | 결론적으로 |
| 584 | |
| 585 | [math(\boxed{A=\text{빨간색},\ B=\text{주황색},\ C=\text{노란색}})] |
| 586 | |
| 587 | 이다. |
| 588 | |
| 589 | =====2-1번===== |
| 590 | > 그림 3의 (Ⅰ)~(Ⅲ)을 일식 진행 순서대로 나열하시오. |
| 591 | |
| 592 | 일식은 달이 태양 앞을 지나가며 태양을 가리는 현상이다. 북반구에서 관측하면 달은 태양에 대해 대체로 오른쪽에서 왼쪽으로 지나가는 모습으로 나타난다. |
| 593 | |
| 594 | 그림 3에서 (Ⅱ)는 달이 태양의 오른쪽 아래에 있는 모습이다. 이후 달이 태양을 더 많이 가리면 (Ⅰ)의 모습이 되고, 더 지나가면 달이 태양의 왼쪽으로 빠져나가 (Ⅲ)의 모습이 된다. |
| 595 | |
| 596 | 따라서 일식 진행 순서는 |
| 597 | |
| 598 | [math(\boxed{(Ⅱ)\to(Ⅰ)\to(Ⅲ)})] |
| 599 | |
| 600 | 이다. |
| 601 | |
| 602 | =====2-2번===== |
| 603 | > 이날 [math(P)]와 [math(Q)]에서 관측한 일식 현상을 각각 설명하시오. |
| 604 | |
| 605 | 그림 3에서 [math(P)]에서 관측한 모습은 달이 태양의 일부만 가리는 모습이다. 태양 전체가 완전히 가려진 모습은 나타나지 않는다. 따라서 [math(P)]에서는 부분일식이 관측된다. |
| 606 | |
| 607 | 한편 [math(Q)]는 달의 본그림자 영역의 중심이 위치한 지점이다. 달의 본그림자 영역에서는 달이 태양을 완전히 가린다. 따라서 [math(Q)]에서는 개기일식이 관측된다. |
| 608 | |
| 609 | 그러므로 |
| 610 | |
| 611 | [math(\boxed{P=\text{부분일식},\ Q=\text{개기일식}})] |
| 612 | |
| 613 | 이다. |
| 614 | |
| 615 | =====2-3번===== |
| 616 | > 그림 4는 [math(P)]의 위치를 나타낸 것이다. [math(Q)]가 위치한 영역을 ①~④ 중에서 고르시오. |
| 617 | |
| 618 | 달의 본그림자 영역의 중심이 [math(Q)]에 있을 때, [math(P)]에서 관측한 모습은 그림 3의 (Ⅰ)이다. |
| 619 | |
| 620 | (Ⅰ)에서 달은 태양에 대해 왼쪽 아래에 치우쳐 보인다. |
| 621 | |
| 622 | [math(Q)]에서는 달과 태양의 중심이 겹쳐 보인다. 그런데 [math(P)]에서는 달이 태양의 왼쪽 아래로 치우쳐 보인다. 달은 태양보다 훨씬 가까우므로, 관측자가 본그림자 중심에서 어떤 방향으로 벗어나면 가까운 달의 겉보기 위치는 먼 태양에 대해 반대 방향으로 치우쳐 보인다. |
| 623 | |
| 624 | 따라서 [math(P)]에서 달이 태양의 왼쪽 아래에 보인다는 것은, [math(P)]가 [math(Q)]에 대해 오른쪽 위에 있다는 뜻이다. 즉 [math(Q)]는 [math(P)]에 대해 왼쪽 아래에 대응하는 방향에 있다. |
| 625 | |
| 626 | 북반구에서 태양을 바라보는 관측 화면에서는 왼쪽이 동쪽에 해당하고, 문제에서 아래쪽이 지표면의 방향이라고 하였으므로 아래쪽은 남쪽에 해당한다. 따라서 관측 화면의 왼쪽 아래는 지표상의 동남쪽 방향에 해당한다. |
| 627 | |
| 628 | 그림 4에서 [math(P)]의 동남쪽에 있는 영역은 [math(④)]이다. |
| 629 | |
| 630 | 따라서 [math(Q)]가 위치한 영역은 |
| 631 | |
| 632 | [math(\boxed{④})] |
| 633 | |
| 634 | 이다. |
| 635 | |
| 636 | ====평가문항 2==== |
| 637 | |
| 638 | > 소장에서 작용하는 유산균 함유 식품을 만들 때 ㉠으로 코팅한 유산균을 사용하기도 한다. ㉠은 탄수화물(녹말), 단백질, 지방 중 하나이다.[br] |
| 639 | > 또한 새로운 약물을 개발하는 과정에서는 약물 자체의 효능 외에도 약물의 다양한 특성을 고려해야 한다. |
| 640 | |
| 641 | =====1번===== |
| 642 | > ㉠으로 가장 적합한 물질을 고르고, 그 이유를 입과 위에서의 소화 과정과 관련하여 설명하시오. |
| 643 | |
| 644 | ㉠은 탄수화물(녹말), 단백질, 지방 중 하나이다. |
| 645 | |
| 646 | 소장에서 작용하는 유산균은 입과 위를 지나는 동안 가능한 한 보호되어야 하며, 소장에 도달한 뒤 작용할 수 있어야 한다. |
| 647 | |
| 648 | 녹말은 입에서 침 속 소화 효소에 의해 소화가 시작된다. 따라서 탄수화물로 코팅하면 입에서부터 코팅이 약해질 수 있다. |
| 649 | |
| 650 | 단백질은 위에서 위액의 작용으로 본격적으로 소화된다. 따라서 단백질로 코팅하면 위에서 코팅이 분해되어 유산균이 위산에 노출될 가능성이 크다. |
| 651 | |
| 652 | 지방은 주로 소장에서 소화된다. 따라서 지방으로 코팅하면 입과 위를 지나는 동안 비교적 잘 유지되고, 소장에 도달한 뒤 분해될 수 있다. |
| 653 | |
| 654 | 그래프에서도 ㉠으로 코팅한 유산균의 위에서의 생존율이 코팅하지 않은 유산균보다 높게 나타난다. |
| 655 | |
| 656 | 따라서 ㉠으로 가장 적합한 물질은 |
| 657 | |
| 658 | '''지방''' |
| 659 | |
| 660 | 이다. |
| 661 | |
| 662 | =====2번===== |
| 663 | > 경구용 약물 [math(X)]가 가져야 할 특성과 이를 만족하기 위한 조건 ⓐ~ⓓ에 적합한 내용을 설명하시오. 단, 영양소와 달리 [math(X)]는 위와 소장에서 모두 흡수될 수 있고, [math(X)]를 코팅하지 않는다. |
| 664 | |
| 665 | ||<tablealign=center> 조건 || 내용 || |
| 666 | || ⓐ || 입과 위에서 쉽게 분해되거나 파괴되지 않아야 한다. || |
| 667 | || ⓑ || 위에서는 전하를 띠어 흡수가 낮고, 소장에서는 중성이 되어 흡수가 높아야 한다. || |
| 668 | || ⓒ || 간에서 너무 빨리 분해되거나 처리되지 않아야 한다. || |
| 669 | || ⓓ || 몸 밖으로 너무 빨리 배설되지 않아야 하며, 일정 시간이 지나면 배설되어야 한다. || |
| 670 | |
| 671 | 약물 [math(X)]는 경구용 약물이므로 입, 위, 소장을 차례로 지난다. 문제에서 요구하는 특성은 크게 두 가지이다. |
| 672 | |
| 673 | 첫째, 위를 지나서 소장에서 흡수되어야 한다. |
| 674 | |
| 675 | 둘째, 혈액에 적절한 농도로 일정 시간 이상 존재해야 한다. |
| 676 | |
| 677 | ⓐ는 제시문 (가)와 관련된다. 제시문 (가)의 핵심은 소장에서 작용해야 하는 유산균이 입과 위를 지나는 동안 보호되어야 한다는 것이다. 약물 [math(X)]도 소장까지 도달해야 하므로, 입과 위에서 쉽게 분해되거나 파괴되지 않아야 한다. |
| 678 | |
| 679 | ⓑ는 제시문 (다)와 관련된다. 표에 따르면 약물이 양전하나 음전하를 띠면 흡수 정도가 낮고, 중성이면 흡수 정도가 높다. 약물 [math(X)]는 위와 소장에서 모두 흡수될 수 있지만, 조건상 위를 지나 소장에서 흡수되어야 한다. 따라서 위에서는 전하를 띠어 흡수가 낮아야 하고, 소장에서는 중성이 되어 흡수가 높아야 한다. |
| 680 | |
| 681 | ⓒ는 제시문 (나)와 관련된다. 간은 외부에서 들어온 약물 성분을 분해하고 처리한다. 약물 [math(X)]가 간에서 너무 빨리 분해되면 혈액 속 농도가 빠르게 낮아져 효과가 충분히 지속되지 못한다. 따라서 간에서 너무 빨리 분해되거나 처리되지 않아야 한다. |
| 682 | |
| 683 | ⓓ도 제시문 (나)와 관련된다. 약물이 몸 밖으로 너무 빨리 배설되면 혈액 속 농도가 일정 시간 이상 유지되지 못한다. 다만 전혀 배설되지 않으면 몸속에 과도하게 남을 수 있으므로, 일정 시간이 지나면 배설될 수 있어야 한다. 따라서 몸 밖으로 너무 빨리 배설되지 않아야 하며, 일정 시간이 지나면 배설되어야 한다. |
| 684 | |
| 685 | =====3번===== |
| 686 | > 과학고등학교에 입학해 팀원들과 함께 연구 주제를 고민하던 중 우연히 다른 팀이 고안한 주제 [math(A)]와 [math(B)]에 대해 우리 팀원과 함께 듣게 되었다. 이후 우리 팀원이 [math(A)]를 우리 팀 주제로 정하자고 건의하였다. 자신이라면 어떻게 행동할 것인지 말하고, 그 이유를 제시하시오. |
| 687 | |
| 688 | 이 문항은 다른 팀이 먼저 고안한 연구 주제를 우리 팀 주제로 삼자는 제안을 받았을 때의 연구 윤리와 의사소통 태도를 묻는 문항이다. 답안은 크게 받아들이는 경우와 받아들이지 않는 경우로 구성할 수 있다. |
| 689 | |
| 690 | ======예시 답안 1====== |
| 691 | |
| 692 | "네, 저라면 팀원의 제안을 받아들이겠습니다. 다만 그전에 한 가지 절차는 꼭 거치고 싶습니다. 우연히 들은 주제라고 해서 무조건 포기해야 한다고는 생각하지 않는데, 같은 주제라도 실험 설계나 분석 방법에 따라 전혀 다른 결과물이 나올 수 있고, 실제 과학계에서도 비슷한 시기에 여러 연구팀이 유사한 주제를 다루는 경우가 드물지 않기 때문입니다. 그래서 저는 먼저 팀원에게 그 팀과 지도교사님께 상황을 솔직히 알리고 양해를 구해보자고 제안하겠습니다. 동의를 얻는다면 그 주제를 우리만의 방식으로 새롭게 풀어내며 발전시켜 나가고 싶습니다. 좋은 아이디어를 살리는 것도 중요하지만, 그 과정이 투명해야 한다는 것이 저에게는 더 중요한 전제입니다." |
| 693 | |
| 694 | ======예시 답안 2====== |
| 695 | |
| 696 | "저라면 그 제안을 받아들이지 않을 것 같습니다. 우연히 다른 팀의 대화를 듣게 된 것 자체는 저희 잘못이 아니지만, 그걸 알면서도 우리 팀 주제로 가져다 쓰는 것은 전혀 다른 문제라고 생각합니다. 그 주제는 다른 팀이 시간과 고민을 들여 만들어낸 결과물이기 때문에, 동의 없이 가져오면 아이디어를 도용하는 것과 다르지 않고, 연구에서 가장 중요한 정직성과 독창성을 스스로 해치는 선택이 될 것 같습니다. 또한 같은 주제로 두 팀이 동시에 연구하면 나중에 표절 논란이나 불필요한 갈등으로 이어질 수 있고, 별일 없이 지나가더라도 그 사실을 아는 사람들 사이에서는 신뢰를 잃을 수 있다고 생각합니다. 그래서 저는 팀원에게 이 점을 솔직하게 설명하고, 대신 저희가 원래부터 고민해 오던 주제를 더 깊이 파고들어 보자고 이야기하고 싶습니다." |
